Число Мерсенна

Число́ Мерсе́нна (Mersenne number) — числа виду $M_n = 2^n - 1$, де $n$ — натуральне число. Числа називають іменем французького математика Марена Мерсенна, що жив на початку XVII століття.

Послідовність чисел Мерсенна починається так:

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … (Послідовність A000225 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Іноді числами Мерсенна називають числа $M_p$ з простими індексами $p$. Ця послідовність починається так:

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607,… (Послідовність A001348 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Властивості

• Будь-який дільник числа $M_p$ для простого $p$ має вигляд $2pk+1$, де $k$ — ціле число. (Це прямий наслідок малої теореми Ферма)
• Ейлер довів, що кожне парне досконале число має вигляд $2^{p-1} M_p$, де число Мерсенна $M_p$ є простим.

Прості чи́сла Мерсенна

Чи́сла Мерсенна є добре відомими в зв'язку з ефективним критерієм простоти Люка-Лемера, завдяки якому прості чи́сла Мерсенна давно утримують лідерство як найвідоміші прості чи́сла (див. посилання). У наш час^[Коли?] найбільшим відомим простим числом є число Мерсенна $M_{32582657} = 2^{32582657} - 1$, знайдене в вересні 2006 року в рамках проекту розподілених обчислень GIMPS. Всього відомо 44 простих числа́ Мерсенна, при чому порядкові номери встановлені лише у перших 39-ти (точно).

Послідовність простих чисел Мерсенна і їх показників починається так:

$M_p$: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, … (Послідовність A000668 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

p: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, … (Послідовність A000043 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Відкриті проблеми

• Нескінченність кількості простих чисел Мерсенна і їх асимптотика
• Простота числа $M_{M_{61}} = 2^{2^{61} - 1} - 1$

Посилання

• Mersenne Numbers
• Double Mersenne Numbers
• Mersenne Primes: History, Theorems and Lists
• самые большие известные простые числа