Число Мерсенна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Число́ Мерсе́нна (Mersenne number) — числа виду M_n = 2^n - 1, де n — натуральне число. Числа називають іменем французького математика Марена Мерсенна, що жив на початку XVII століття.

Послідовність чисел Мерсенна починається так:

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … (Послідовність A000225 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Іноді числами Мерсенна називають числа M_p з простими індексами p. Ця послідовність починається так:

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607,… (Послідовність A001348 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Властивості[ред.ред. код]

Прості чи́сла Мерсенна[ред.ред. код]

Чи́сла Мерсенна є добре відомими в зв'язку з ефективним критерієм простоти Люка-Лемера, завдяки якому прості чи́сла Мерсенна давно утримують лідерство як найвідоміші прості чи́сла (див. посилання). У наш час[Коли?] найбільшим відомим простим числом є число Мерсенна M_{32582657} = 2^{32582657} - 1, знайдене в вересні 2006 року в рамках проекту розподілених обчислень GIMPS. Всього відомо 44 простих числа́ Мерсенна, при чому порядкові номери встановлені лише у перших 39-ти (точно).

Послідовність простих чисел Мерсенна і їх показників починається так:

M_p: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, … (Послідовність A000668 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)
p: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, … (Послідовність A000043 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Відкриті проблеми[ред.ред. код]

  • Нескінченність кількості простих чисел Мерсенна і їх асимптотика
  • Простота числа M_{M_{61}} = 2^{2^{61} - 1} - 1

Посилання[ред.ред. код]