Сума

Су́ма (лат. summa) — результат операції додавання.

Наприклад, у виразі

4 + 5 = 9

9 є сумою, а числа 4 і 5 називаються доданками.

Сума позначається знаком + (плюс).

Для позначення суми членів послідовності використовується символ $\sum$, наприклад

$\sum_{i=1}^N a_i = a_1 + a_2 + \ldots a_N$.

Якщо послідовність нескінченна, то така сума називається числовим рядом і позначається

$\sum_{i=1}^\infty a_i$.

В алгебраїчний вираз можуть входити члени, знаки яких наперед не визначені. Тобто для певних членів виразу виконується операція додавання, для інших — віднімання. Тому вираз загального вигляду, до якого входять операції додавання і віднімання називають алгебраїчною сумою. Наприклад,

$5 - 4 = 5 + (-4)$

$a-b = a + (-b)$

Визначена сума

Часто для скорочення суму з n доданків a_k, a_k+1, …, a_N позначають великою грецькою буквою Σ (сигма):

$a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i$

Це позначення називається визначеною (скінченню) сумою a_i по i от k до N.
Для зручності замість $\sum_{i=k}^Na_i$ інколи пишуть $\sum_{P(i)}^{}a_i$, де $P(i)\$ — деяке відношення для $i\$, таким чином $\sum_{P(i)}^{}a_i$ це скінченна сума всіх $a_i\$, де $i\in Z : P(i)\$
Властивості визначеної суми:

1. $\left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right)\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)$
2. $\sum_{i=k_1}^{k_2}\sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} = \sum_{j=p_1}^{p_2}\sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}$
3. $\sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i$
4. $\sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i$

Приклади

1. Сума арифметичної прогресії:

   $\sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}$

2. Сума геометричної прогресії:

   $\sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

3. $\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0$

Чому це так

$\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \sum_{i=0}^n{1\cdot {\frac{1}{p^i}}} = 1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{p}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac{p-1}{p}} = \frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right)$

1. $\sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1$

Чому це так

Доведення:

$\sum_{i=0}^nip^i = \sum_{i=1}^nip^i = p\cdot \sum_{i=1}^nip^{i-1} = p\cdot \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p^i = p\cdot \left(\sum_{i=0}^{n-1}{ip^i} + \sum_{i=0}^{n-1}p^i\right)=p\cdot \sum_{i=0}^nip^i - p\cdot np^n + p\cdot \frac{1-p^n}{1-p} \Rightarrow$

$\Rightarrow (1-p)\sum_{i=0}^nip^i = \frac{-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p} \Rightarrow \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}$

1. $\sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1$

Чому це так,бо так

Доведення:

$(p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\sum_{i=0}^n((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\left(n\cdot\sum_{i=0}^np^i -\sum_{i=0}^nip^i\right)+n+1 =$

$=(p-1)\left(n\cdot\frac{1-p^{n+1}}{1-p}-\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}\right)+n+1 =$

$=\frac{np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}=$

$=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=\sum_{i=0}^np^i$

1. • При $p = 10\$ отримуємо $\sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1$, а це послідовність рівнянь наступного вигляду:
     $1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5$

Невизначена сума

Невизначеною сумою a_i по i називається така функція f(i), яка позначається $\sum_{i}^{} a_i$, що $\forall i f(i+1) - f(i) = a_{i+1}$.

Формула Ньютона-Лейбніца

Якщо знайдена невизначена сума $\sum_{i}^{} a_i = f(i)$, тоді $\sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k)$. 

Етимологія

Латинське слово summa перекладається як «головний пункт», «сутність», «підсумок». З XV століття слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово «підсумувати» (1489 рік).

Це слово проникло в багато сучасних мов: в українську, англійську, французьку та інші.

Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів Ейлер в 1755 році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування та інтегрування, S також використовували для позначення операції інтегрування.

Див. також

• Добуток
• Контрольна сума