Трикутне число

Трикутне число —число кружків, які можуть бути вписані у формі рівносторнонього трикутника, див. малюнок.

Послідовність трикутних чисел $T_n$ для n = 0, 1, 2, … починається так:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … (Послідовність A000217 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Властивості

• Формули для n-го трикутного числа:
  • $T_n=\frac12n(n+1)$;
  • $T_n=1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n$;
  • $T_n={n+1 \choose 2}$ — біноміальний коефіцієнт.
• Сума двох послідовних трикутних чисел — квадратне число, тобто

$T_n+T_{n-1}=n^2$.

• Кожне парне досконале число є трикутним.

Узагальнення

Можна переконатись, що для будь-якого n-вимірного симплексу із сторонами довжини x кількість вершин дається формулою

$\binom{x+n-1}{n} = \frac{x\cdot (x+1)\cdots(x+(n-1))}{n!}.$

Наприклад, тетраедр зі сторонами довжини 2 має $\frac{2(2+1)(2+2)}{3!}=4$ вершини.

Див. також

• Фігурні числа
• Квадратне число
• Трикутник Паскаля
• Піраміда Паскаля