Порожня сума

У математиці порожня сума — це сума, що не має жодного доданку. За домовленістю значенням порожньої суми є нейтральний елемент додавання — нуль.

Зазвичай суми мають принаймні два доданки, але в певних ситуаціях від такого обмеження буває зручно відмовитися. Для прикладу розглянемо послідовність чисел $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$,..., а виразом $s_{n}$ позначимо суму її перших $n$ елементів:

$s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+\ldots +a_{n}$.

Тоді має місце рекурентне співвідношення

$s_{n}=s_{n-1}+a_{n}$,

яке можна розглядати для всіх $n=1$, $2$,..., якщо вважати $s_{1}=a_{1}$ та $s_{0}=0$. Іншими словами, під значенням «суми» $s_{1}$ з одним-єдиним доданком розуміємо, власне, величину цього доданку, а під «сумою» $s_{0}$ «з нулем доданків» розуміємо $0$. Розгляд таких «сум» з одним або навіть нулем доданків скорочує число випадків, які окремо слід було б розглядати у багатьох математичних формулах. Такі «суми» є природними початками багатьох індуктивних доведень, а також алгоритмів. Із цих міркувань домовленість про нульове значення порожньої суми є поширеною практикою в математиці та програмуванні. Аналогічно, значенням порожнього добутку домовилися вважати одиницю — нейтральний елемент множення.

Викладене стосується не лише числових сум, але й більш загальних сум елементів іншої природи (як от вектори, матриці, многочлени), для яких означено додавання — елементів абелевих груп, або навіть адитивних моноїдів (адитивних у сенсі зображення бінарної операції знаком «$+$»), причому значенням відповідних порожніх сум залишатиметься нейтральний, або як його тут зазвичай називають, нульовий елемент цих груп чи моноїдів.

Виправданість поняття порожньої суми

Незвичне для нематематика поняття порожньої суми доречне і корисне тією ж мірою, що й число нуль чи порожня множина: хоча самі по собі вони виражають цілком тривіальні речі, їхнє запроваждення і використання істотно спрощує означення та розгляд багатьох інших математичних понять і конструкцій.

Приклад: порожня лінійна комбінація

В лінійній алгебрі базою векторного простору $V$ є лінійно незалежна множина векторів $B$ така, що кожен елемент простору $V$ є лінійною комбінацією векторів з $B$. Розгляд порожніх сум дозволяє розглядати також базу нульвимірного векторного простору $V=\{0\}$, а саме — порожню множину Ø.

Природність нульового значення

Домовленість про нульове значення порожньої суми (нульовий елемент для адитивних моноїдів) є абсолютно природною, оскільки порожню суму можна розуміти як неодмінний (і як завгодно багатократний!) компонент (доданок) будь-якої іншої суми, який при цьому ніяк останню не змінює.

Див. також

• Порожній добуток