Концепції істотного супремуму і істотного інфімуму пов'язані з поняттями супремуму і інфімуму, але пристосовані до теорії міри і функціонального аналізу, де користувач часто працює з твердженнями не чинними для всіх елементів множини, але швидше майже скрізь, тобто, окрім як на множині міри нуль.
Нехай
буде дійснозначна функція визначена на множині X. Дійсне число a зветься верхньою межею для
якщо
тобто, якщо множина
![{\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab37670f3496f1f242f52bc49033aa1e142b9ab0)
є порожньою. Нехай
![{\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\emptyset \}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53306c02594905b42068c171f96a2c2bc790ca1)
буде множина верхніх меж
Тоді супремум
визначено через
![{\displaystyle \sup f=\inf U_{f}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c48fd4b29e7fceb5883c10ed17c29d90a0e383)
якщо множина верхніх меж
непорожня і
інакше.
До того ж припустимо, що
— вимірний простір і, для простоти, припустимо, що функція
є вимірною. Число
називають істотною верхньою межею для
якщо вимірна множина
є множиною міри нуль,[a] тобто, якщо
для майже всіх
Нехай
![{\displaystyle U_{f}^{\mathrm {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48b71a42c91b078d66e923b32c228e2d7777146)
буде множиною істотних верхніх меж. Тоді істотний супремум визначають як
![{\displaystyle \mathrm {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d776472844182978870b382f272745f51d7ce7f)
якщо
, і
інакше.
Так само визначають істотний інфімум як супремум істотних нижніх меж, що є,
![{\displaystyle \mathrm {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f573858b155f25887b20291651d794088b1796c)
якщо множина істотних нижніх меж непорожня, і як
інакше.
Розглянемо на дійсній осі міру Лебега і відповідну їй σ-алгебру
Визначимо функцію
через формулу
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/030958731368f48b096df3abb7e87b3a82d6a487)
Супремумом функції є 5, а інфімумом −4. Однак, функція набуває цих значень лише на множинах {1} і {−1} відповідно, обидві міри нуль. which are of measure zero. В інших точках функцію приймає значення 2. Отже істотний супремум і інфімум для цієї функції 2.
Як ще один приклад розглянемо
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan {x},&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \\\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77963feb2d840925ae2ae91b92f9f64b9fe78c0f)
З точки зору міри Лебега, раціональні числа мають міру нуль, тому тут істотний супремум це
а істотний інфімум це
Подивимось на функцію
визначену на всіх дійсних
Її істотним супремумом є
і її істотний інфімум це
- Якщо
маємо
. Якщо
міри нуль
і
.[1]
коли обидва множники праворуч невід'ємні.
- ↑ Для невимірних функцій означення треба змінити, припускаючи, що
міститься у множині міри нуль
- ↑ Dieudonne J.: Treatise On Analysis, Vol. II. Associated Press, New York 1976. p 172f.