Інфімум та супремум

Підмножина $A$ (сині) дійсних чисел, множина верхніх меж $A$ (червоні), і супремум $A$ (червоний ромб).

Інфімум та супремум — в теорії порядку це двоїсті поняття, що узагальнюють поняття мінімума та максимума для підмножини в частково впорядкованій множині.

Для підмножини $S$ частково впорядкованої множини $(P,\leq )$ :

І́нфімум (точна нижня межа, нижня грань) (лат. infimum — найнижчий) — це найбільша нижня межа S. Позначається $\inf S$.

Супремум (точна верхня межа, верхня грань) (лат. supremum — найвищий) — це найменша верхня межа S. Позначається $\sup S$.

Пов'язані визначення

Для підмножини $X$ частково впорядкованої множини $(P,\leq )$ :

Міноранта чи нижня межа $X$ — елемент $a\in P$, такий що $\forall x\in X:\quad a\leqslant x$.

Мажоранта чи верхня межа $X$ — елемент $b\in P$, такий що $\forall x\in X:\quad x\leqslant b$.

Визначення

Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини $X$, називається найменший елемент $P$, який є мажорантою $X$.

Більш формально:

$S_{X}=\{b\in P\mid \forall x\in X\!:x\leqslant b\}\!$ — множина мажорант $X$, тобто елементів $P$, рівних чи більших за всі елементи $X$

$s=\sup(X)\iff s\in S_{X}\land \forall b\in S_{X}\!:s\leqslant b.$

Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини $X$, називається найбільший елемент $P$, який є мінорантою $X$.

Властивості

• Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
• Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
• Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.

• Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
• І навпаки, для підмножини $X$:
  • якщо $i=\inf(X)\in X$, то $i$ є найменшим елементом та мінімумом $X$, позначається $i=\min _{x\in X}x$.
  • якщо $s=\sup(X)\in X$, то $s$ є найбільшим елементом та максимумом $X$, позначається $s=\max _{x\in X}x$.

Арифметичні операції

...

Інфімум та супремум для дійсних чисел

• Аксіома Дедекінда

Див. також

• Двоїстість (теорія порядку)
• Істотний інфімум та істотний супремум
• Верхня та нижня межа
• Найбільший та найменший елемент
• Максимальні та мінімальні елементи
• Поєднання та зустріч

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)