Міра Лебега

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Міра Лебе́га на \R^n — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.

Побудова міри на прямій[ред.ред. код]

Зовнішня міра[ред.ред. код]

Для довільної підмножини \ E числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину \ E. Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини \ E, і називається зовнішньою мірою:

m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}.

Варіанти позначення зовнішньої міри:

m^*E=\varphi(E)=|E|^*.

Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.

властивості зовнішньої міри[ред.ред. код]

  • E_1\subseteq E_2\Longrightarrow m^*E_1\leqslant m^*E_2.
  • E=\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Longrightarrow m^*E\leqslant\sum_{k=1}^\infty m^*E_k.
  • \forall E,\;\varepsilon>0\;\exists G\supseteq E\colon m^*G\leqslant m^*E+\varepsilon, де G — відкрита множина. Дійсно, достатньо в якості G взяти суму інтервалів, що утворюють покриття E, таку що \sum_i\Delta_i\leqslant m^*E+\varepsilon. Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.

Внутрішня міра[ред.ред. код]

Якщо множина \ E обмежена, то внутрішньою мірою множини \ E називається різниця між довжиною сегмента [a,\;b], що містить \ E та зовнішньою мірою доповнення \ E в [a,\;b]:

m_*E=(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E).

Для необмежених множин, \ m_*E визначається як точна верхня грань (b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E) по всіх відрізках [a,\;b].

Вимірні множини[ред.ред. код]

Множина називається вимірною за Лебегом, якщо її зовнішня і внутрішня міри одинакові. Тоді їх спільне(одинакове) значення називається мірою множини за Лебегом і позначається mE,\;\mu E,\;|E| чи \ \lambda(E).

Приклад невимірної множини[ред.ред. код]

Розглянемо на прямій відрізок [0,\;1]. Якщо відстань між двома точками є раціональним числом, то віднесемо їх до одного класу еквівалентності. З кожного класу еквівалентності виберемо по одній точці. Отримана множина буде невимірною за Лебегом.

Дійсно, якщо зсунути цю множину зліченну кількість раз, то вона заповнить весь відрізок: E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n=[0,\;1].

Отже, в силу зліченної адитивності міри Лебега \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum_{n=1}^\infty\mu(E_n).

Якби у побудованої множини \ E була міра, то вона мала б бути не меньше нуля.

Нехай \ \mu(E)>0, при цьому всі \ \mu(E_n) — рівні один одному в силу інваріантності міри Лебега, тобто, в силу зліченної адитивності міри Лебега \sum_{n=1}^\infty\mu(E_n)>1, що неможливо, так як \mu([0,\;1])=\sum_{n=1}^\infty\mu(E_n)=\mu(E)=1.

Нехай \ \mu(E)=0, але це також неможливо, оксільки в такому випадку \mu([0,\;1])=\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)=\mu(E), що протирічить визначенню міри Лебега, так як для відрізка [0,\;1] ця міра равна 1 в силу визнаачення міри Лебега.

Отже міри не існує.

Побудова невимірної множини на відрізку була б неможлива без прийняття аксіоми вибору (не можна було б допускати можливість вибирати представника в кожному класі еквівалентності).

Дивись також[ред.ред. код]