Міра Лебега

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Міра Лебе́га на  — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.

Побудова міри на прямій[ред.ред. код]

Зовнішня міра[ред.ред. код]

Для довільної підмножини числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину . Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини , і називається зовнішньою мірою:

Варіанти позначення зовнішньої міри:

Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.

властивості зовнішньої міри[ред.ред. код]

  • , де  — відкрита множина. Дійсно, достатньо як взяти суму інтервалів, що утворюють покриття , таку що . Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.

Внутрішня міра[ред.ред. код]

Якщо множина обмежена, то внутрішньою мірою множини називається різниця між довжиною сегмента , що містить та зовнішньою мірою доповнення в :

Для необмежених множин, визначається як точна верхня грань по всіх відрізках .

Вимірні множини[ред.ред. код]

Множина називається вимірною за Лебегом, якщо її зовнішня і внутрішня міри однакові. Тоді їх спільне (однакове) значення називається мірою множини за Лебегом і позначається чи .

Приклад невимірної множини[ред.ред. код]

Побудова невимірної множини на відрізку була б неможлива без прийняття аксіоми вибору (не можна було б допускати можливість вибирати представника в кожному класі еквівалентності).

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]