Алгебра Валя

Алгебра Валя (або Алгебра Валентини) — неасоціативна алгебра M над полем F, в якій бінарна мультиплікативна операція підкоряється наступним аксіомам:

1. Умові антисиметричності:

$g(A,B)=-g(B,A)$

для всіх $A,B\in M$.

2. Тотожності Валентини:

$J(g(A_{1},A_{2}),g(A_{3},A_{4}),g(A_{5},A_{6}))=0$

для всіх $A_{k}\in M$, где k=1,2,…,6, и

$J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).$

3. Умові білінійності:

$g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)$

для всіх $A,B,C\in M$ и $a,b\in F$.

Можна сказати, що M є алгеброю Валентини, якщо комутант цієї алгебри є Лієвою подалгеброю. Будь-яка алгебра Лі є алгеброю Валентини.

Білінійна мультиплікативна операція в алгебрі Валентини, так само як в алгебрі Лі, не є асоціативною операцією.

Існує наступний взаємозв'язок між Комутантно-асоціативною алгеброю і алгеброю Валя. Заміна множення g(A, B) в алгебрі M операциєю комутування [A, B]=g(A, B)-g(B, A), перетворює її в алгебру $M^{(-)}$. При цьому, якщо M є комутантно-асоціативною алгеброю, то $M^{(-)}$ буде алгеброю Валя. Алгебра Валя є узагальненням алгебри Лі, яка є окремим прикладом алгебри Валентини.

Алгебри Валя можуть бути використані для опису дисипативних і негамільтонових квантових систем.

Джерела

• V.E. Tarasov Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier Science, Amsterdam, Boston, London, New York, 2008. [Архівовано 1 березня 2012 у Wayback Machine.] ISBN 0-444-53091-6 ISBN 978-0-444-53091-2
• V.E. Tarasov, «Quantum dissipative systems: IV. Analogues of Lie algebras and groups» [Архівовано 1 жовтня 2011 у Wayback Machine.] // Theoretical and Mathematical Physics. Vol.110. No.2. (1997) pp.168-178.]
• Zhevlakov, K.A. (2001), «Alternative rings and algebras», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 [Архівовано 13 жовтня 2008 у Wayback Machine.]