Гамільтонів граф

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Гамільтонів цикл у додекаедрі.

Гамільто́нів гра́ф — в математиці це граф, що містить гамільтонів шлях або гамільтонів цикл.

Гамільто́нів шля́х — шлях, що містить кожну вершину графа рівно один раз. Гамільтонів шлях, початкова і кінцева вершини якого збігаються, називається гамільтоновим циклом.

Гамільтонові шлях, цикл і граф названі на честь ірландського математика Вільяма Гамільтона, який вперше визначив ці класи, дослідивши задачу «навколосвітньої подорожі» по додекаедру, вузлові вершини якого символізували найбільші міста Землі, а ребра — дороги, що їх з'єднують.

Задачу знаходження гамільтонового циклу можна використати як основу для доведення з нульовим пізнанням.

Умови існування[ред.ред. код]

Умова Дірака (1952)[ред.ред. код]

Нехай  — число вершин в даному графі; якщо степінь кожної вершини не менший, ніж , то граф називається графом Дірака. Граф Дірака — гамільтонів.

Умова Оре (1960)[ред.ред. код]

 — число вершин у даному графі. Якщо для будь-якої пари несуміжних вершин , виконано нерівність то граф називаваєтся графом Оре (словами: сума степенів будь-яких двох несуміжних вершин не менша від загального числа вершин у графі). Граф Оре — гамільтонів.

Умова Бонді-Хватала[ред.ред. код]

Теорема Бонді-Хватала узагальнює твердження Дірака і Оре. Спочатку визначимо замикання графа. Нехай у графа є вершин. Тоді замикання однозначно будується за G додаванням для всіх несуміжних вершин і , у яких виконується , нового ребра .

Граф є гамільтоновим тоді і тільки тоді, коли його замикання — гамільтонів граф.

Приклади[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Bollobás, B. Graph Theory: An Introductory Course. New York: Springer-Verlag, 1979.
  • Chartrand, G. Introductory Graph Theory. New York: Dover, 1985.