Арифметична прогресія

Арифмети́чна (аритмети́чна) прогре́сія — це послідовність дійсних чисел виду

$a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots$,

де $a_{1}$ — це перший член прогресії, $d$ — це фіксована різниця між наступним та попереднім.

Формула для знаходження $n$-го члена прогресії:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d,\quad \forall n\geqslant 1$

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

$a_{n}=a_{n-1}+d$.

Сума $n$ перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}={a_{1}+a_{n} \over 2}n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}n$.

Сума $n$ послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з члена $k$:

$S_{n}={a_{k}+a_{k+n-1} \over 2}n$.

Сума перших $n$ натуральних чисел:

$1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$.

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія про те, як Карл Ґаусс відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, учитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — $1+2+\dots +99+100$. Ґаусс помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: $1+100=101$, $2+99=101$ тощо, і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює $5050$. Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули ${\frac {n(n+1)}{2}}$, тобто до формули суми перших $n$ чисел натурального ряду.

Також арифметична прогресія належить такому розділу з математики, як комбінаторика. Узагальненням арифметичної прогресії є рекурентне співвідношення.

Див. також

• Геометрична прогресія
• Фігурні числа
• Генеральна сукупність
• Мультисекція ряду

Посилання на сторонні джерела

• Арифметичні послідовності на Mathworld [Архівовано 4 червня 2011 у Wayback Machine.] (англ.)
• FIZMA.neT — математика онлайн [Архівовано 15 травня 2021 у Wayback Machine.]

Джерела

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научних работников и инженеров. — Москва : Наука, 1970. — 720 с. — 100000 прим.