Арифметична прогресія

Арифмети́чна прогре́сія це послідовність дійсних чисел виду

$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d,\ \ldots$

де $a_1$ — це перший член прогресії, $d$ — це фіксована різниця між попереднім та наступним.
Формула для знаходження $n$-го члена прогресії:

$a_n=a_1 + (n-1)d \quad \forall n \ge 1$

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

$a_n=a_{n-1} + d \quad$

Сума $n$ перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

$S_n=\sum_{i=1}^n a_i ={a_1+a_n \over 2}n={2a_1 + d(n-1) \over 2}n$

Сума $n$ послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з члена $k$:

$S_n={a_k+a_{k+n-1} \over 2}n$

Сума перших $n$ натуральних чисел:

$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Ця формула відома також як трикутне число. Існує історія про те як Карл Ґаус відкрив цю формулу навчаючись у третьому класі: коли вчитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел, він відразу відповів що вона дорівнює 5050. Також арифметична прогресія відноситься до такого розділу з математики, як комбінаторики.

Див. також

• Геометрична прогресія
• Фігурні числа
• Генеральна сукупність вимірів

Джерела

• Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научних работников и инженеров»