Арифметична прогресія

Арифмети́чна прогре́сія це послідовність дійсних чисел виду

$a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots$$a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots$

де $a_{1}$$a_{1}$ — це перший член прогресії, $d$$d$ — це фіксована різниця між попереднім та наступним.
Формула для знаходження $n$$n$-го члена прогресії:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d,\quad \forall n\geqslant 1$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d,\quad \forall n\geqslant 1$

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

$a_{n}=a_{n-1}+d\quad$$a_{n}=a_{n-1}+d\quad$

Сума $n$$n$ перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}={a_{1}+a_{n} \over 2}n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}n$$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}={a_{1}+a_{n} \over 2}n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}n$.

Сума $n$$n$ послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з члена $k$$k$:

$S_{n}={a_{k}+a_{k+n-1} \over 2}n$$S_{n}={a_{k}+a_{k+n-1} \over 2}n$;

Сума перших $n$$n$ натуральних чисел:

$1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$$1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$.

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія про те, як Карл Ґаус відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, вчитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — 1+2+...+99+100. Ґаус помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101 і т. д., і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює 5050. Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули ${\frac {n(n+1)}{2}}$${\frac {n(n+1)}{2}}$, тобто до формули суми перших n чисел натурального ряду.

Також арифметична прогресія відноситься до такого розділу з математики, як комбінаторика. Узагальненням арифметичної прогресії є рекурентне співвідношення.

Див. також

• Геометрична прогресія
• Фігурні числа
• Генеральна сукупність вимірів

Посилання на сторонні джерела

• Арифметичні послідовності на Mathworld
• FIZMA.neT — математика онлайн

Джерела

• Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научних работников и инженеров»