Арифметична прогресія

Арифмети́чна (аритмети́чна) прогре́сія — це послідовність дійсних чисел, кожен член якої, починаючи з другого, утворюється додаванням до попереднього члена одного й того ж числа. Загальний вид арифметичної прогресії:

$a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots$

де $a_{1}$ — це перший член прогресії, $d=a_{n+1}-a_{n}$.

Число $d$ називають різницею арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. Якщо $d>0$, то вона зростає, а при $d<0$ вона спадає. Якщо $d=0$, то прогресія є сталою.

Знаходження $n$-го члена арифметичної прогресії

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

$a_{n}=a_{n-1}+d$

За означенням арифметичної прогресії:

$a_{2}=a_{1}+d;$

$a_{3}=a_{2}+d=(a_{1}+d)+d=a_{1}+2d;$

$a_{4}=a_{3}+d=(a_{1}+2d)+d=a_{1}+3d;$

$a_{5}=a_{4}+d=(a_{1}+3d)+d=a_{1}+4d;\ldots$

Простежується закономірність $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.

Доведення.  

Доведемо правильність гіпотези для всіх $n\in \mathbb {N}$ за допомогою методу математичної індукції.

Для $n=1$:

$a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}$

Припустимо, що $n=k$:

$a_{k}=a_{1}+(k-1)d$

Доведемо, що формула правильна для $n=k+1$, тобто що правильне наступне:

$a_{k+1}=a_{1}+kd$

Для цього використаємо припущення:

$a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd-d+d=a_{1}+kd$

Отже, формула $n$-го члена має вигляд:

$\forall n\in \mathbb {N}$, $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

Властивість арифметичної прогресії

Виразимо члени $a_{n-1}$ та $a_{n+1}$ через $a_{n}$ і $d$:

$a_{n-1}=a_{n}-d$ і $a_{n+1}=a_{n}+d$

Знайдемо їхнє середнє арифметичне:

${\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}={\frac {a_{n}-d+a_{n}+d}{2}}={\frac {a_{n}+a_{n}}{2}}=a_{n}$

Тобто, будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх членів.

$\forall n\geq 2$, $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$

Сума $n$ перших членів арифметичної прогресії

Сума $n$ послідовних членів починаючи з першого члена

Запишемо суму послідовних членів арифметичної прогресії двома способами:

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+\ldots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{1}+(n-1)d)+(a_{1}+(n-2)d)+\ldots +(a_{1}+d)+a_{1}$

Додамо ці два вирази:

$2S_{n}=(2a_{1}+(n-1)d)+(2a_{1}+(n-1)d)+\ldots +(2a_{1}+(n-1)d)+(2a_{1}+(n-1)d)$

$2S_{n}=n(2a_{1}+(n-1)d)$

Поділимо обидві частини на 2:

$S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}n={\frac {a_{1}+a_{1}+(n-1)d}{2}}n={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}n$

Отже, сума $n$ перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}={a_{1}+a_{n} \over 2}n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}n$

Сума $n$ послідовних членів починаючи з k-го члена

Із арифметичної прогресії $\{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{k},a_{k+1},a_{k+2},\ldots ,a_{k+n-1},\ldots \}$ можна виділити підпослідовність $\{b_{n}=a_{k+n-1}\}$, що є арифметичною прогресією. Тоді сума $n$ перших членів $\{b_{n}\}$:

$S_{n}={b_{1}+b_{n} \over 2}n={a_{k}+a_{k+n-1} \over 2}n$

Отже, сума $n$ послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з $k$-го члена:

$S_{n}={a_{k}+a_{k+n-1} \over 2}n$

Сума перших $n$ натуральних чисел

Анімоване доведення формули для знаходження суми перших n натуральних чисел

Суму перших $n$ натуральних чисел можна записати як:

$1+2+\cdots +n=S_{n}={2\cdot 1+(n-1)\cdot 1 \over 2}n={1+n \over 2}n={n(n+1) \over 2}$

Отже, сума перших $n$ натуральних чисел:

$1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$.

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія про те, як Карл Ґаусс відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, учитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — $1+2+\dots +99+100$. Ґаусс помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: $1+100=101$, $2+99=101$ тощо, і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює $5050$. Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули ${\frac {n(n+1)}{2}}$, тобто до формули суми перших $n$ чисел натурального ряду.

Див. також

• Монотонна послідовність
• Математична індукція
• Генеральна сукупність
• Геометрична прогресія
• Мультисекція ряду
• Узагальнена арифметична прогресія
• Фігурні числа
• Комбінаторика
• Рекурентне співвідношення
• Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресії

Посилання на сторонні джерела

• Арифметичні послідовності на Mathworld [Архівовано 4 червня 2011 у Wayback Machine.] (англ.)
• FIZMA.neT — математика онлайн [Архівовано 15 травня 2021 у Wayback Machine.]

Джерела

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научних работников и инженеров. — Москва : Наука, 1970. — 720 с. — 100000 прим. (рос.)
• Тропфке Й. Arithmetik und Algebra. — Berlin : Walter de Gruyter, 1980. — 755 с. (нім.)