Арифметична прогресія

Арифмети́чна (аритмети́чна^[1]) прогре́сія — це послідовність дійсних чисел виду

a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots

,

де $a_{1}$ — це перший член прогресії, $d$ — це фіксована різниця між попереднім та наступним.

Формула для знаходження $n$ -го члена прогресії:

a_{n}=a_{1}+(n-1)d,\quad \forall n\geqslant 1

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

a_{n}=a_{n-1}+d

.

Сума $n$ перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}={a_{1}+a_{n} \over 2}n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}n

.

Сума $n$ послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з члена $k$ :

S_{n}={a_{k}+a_{k+n-1} \over 2}n

.

Сума перших $n$ натуральних чисел:

1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}

.

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія про те, як Карл Ґаусс відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, учитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — $1+2+\dots +99+100$ . Ґаусс помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: $1+100=101$ , $2+99=101$ тощо, і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює $5050$ . Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули ${\frac {n(n+1)}{2}}$ , тобто до формули суми перших $n$ чисел натурального ряду.