Гранична ознака порівняння

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Гранична ознака порівняння (на відміну від пов'язаної прямої ознаки порівняння) — це математичний критерій збіжності, який використовується для визначення збіжності чи розбіжності нескінченного ряду.

Твердження

Нехай задано два ряди $\sum _{n}a_{n}$ і $\sum _{n}b_{n}$, де $a_{n}\geq 0$, $b_{n}>0$ для будь-якого $n$. Якщо $\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {a_{n}}{b_{n}}}=c$, причому $0<c<\infty$, тоді обидва ряди або збіжні або навпаки є розбіжними.

Доведення

Оскільки $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$, то для будь-якого $\varepsilon >0$ існує натуральне число $n_{0}>0$ таке, що всіх $n\geq n_{0}$, виконується нерівність $\left|{\dfrac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$, що рівносильно:

$-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon$

$c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon ,$

$(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}.$

Оскільки $c>0$, то можемо обрати $\varepsilon$ як завгодно малим, щоб $c-\varepsilon >0$. Тоді $b_{n}<{\dfrac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$, і за ознакою порівняння, якщо ряд $\sum _{n}a_{n}$ є збіжним, то збіжним буде і ряд $\sum _{n}b_{n}$.

Аналогічно для $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$, якщо ряд $\sum _{n}{}a_{n}$ є розбіжним, то знову ж таки за ознакою порівняння розбіжним буде і ряд $\sum _{n}b_{n}$.

Отже, обидва ряди є збіжними, або розбіжними.

Приклад

Визначимо, чи буде збіжним ряд

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}.$

Для цього порівняємо його зі збіжним рядом

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Оскільки

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0,$

тому початковий ряд також є збіжним.

Одностороння версія

Односторонню версію граничної ознаки порівняння можна сформулювати за допомогою верхньої та нижньої границі. Нехай $a_{n},b_{n}\geq 0$ для будь-яких $n$. Тоді, якщо

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c,\quad 0\leq c<\infty ,$

$\sum \limits _{n}b_{n}$ є збіжним, тоді ряд $\sum \limits _{n}a_{n}$ обов'язково буде збіжним.

Приклад

Нехай $a_{n}={\dfrac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ і $b_{n}={\dfrac {1}{n^{2}}}$ для будь-яких $n$. Тоді

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim \limits _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})$

не існує, і в цьому випадку не можна використовувати стандартну версію граничної ознаки порівняння. Однак

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty ),$

ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ є збіжним, і тому згідно з односторонньою версією граничної ознаки порівняння ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ буде збіжним.

Обернена одностороння версія

Нехай $a_{n},b_{n}\geq 0$ для будь-якого $n$. Якщо ряд $\sum _{n}a_{n}$ розбіжний, а $\sum _{n}b_{n}$ збіжний, тоді обов'язково

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$

або

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0.$

Головним тут є те, що у деякому сенсі числа $a_{n}$ більші за числа $b_{n}$.

Приклад

Нехай функція $f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ — аналітична на одиничному крузі

$D=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\},$

і має образ скінченної площі. Відповідно до формули Парсеваля площа образу функції $f$ дорівнює $\sum \limits _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}$. Крім того, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }1/n$ є розбіжним. Отже, згідно з оберненою граничною ознакою маємо

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0,$

тобто

$\liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0.$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR [Архівовано 13 травня 2021 у Wayback Machine.])
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR [Архівовано 5 грудня 2019 у Wayback Machine.])

Зовнішні лінки

• Pauls Online Notes on Comparison Test [Архівовано 14 липня 2014 у Wayback Machine.]