Ознаки збіжності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ознаки збіжності рядів — ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд

Частковими сумами цього ряду будуть:

Ряд (1) є збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто

Число є сумою ряду, отже:

Коли ж границя часткових сум не існує або дорівнює нескінченності, то ряд є розбіжним.

Класифікація ознак збіжності[ред. | ред. код]

Ознаки збіжності рядів поділяються на необхідні й достатні.

Необхідна умова збіжності означає:

  • якщо вона виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним,
  • якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним.

Можна сказати, що необхідна умова збіжності ряду є достатньою умовою його розбіжності.

Достатня умова збіжності означає:

  • якщо вона виконується, то ряд є збіжним,
  • якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним.

У залежності від того, збіжність яких рядів доводиться, ознаки поділяються на ознаки збіжності для знакододатних рядів, знакопереміжних рядів, функціональних рядів, рядів Фур'є.

Список ознак[ред. | ред. код]

Необхідна умова збіжності[ред. | ред. код]

Якщо границя послідовності утвореної членами ряду є невизначеною або відмінною від нуля, так що , то ряд є розбіжним. У цьому сенсі, часткові суми ряду утворюють фундаментальну послідовність лише тоді , коли ця границя існує та рівна нулю. Ця ознака не є достатньою: про збіжність або розбіжність ряду не можна стверджувати на основі цієї ознаки, якщо граничне значення члену ряду рівне нулю.

Ознака д'Аламбера[ред. | ред. код]

Припустимо, що існує таке , що

Якщо , то ряд є абсолютно збіжним. Якщо , то ряд є розбіжним. Якщо , то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

Радикальна ознака Коші[ред. | ред. код]

Нехай де позначає верхню границю послідовності (можливо ; якщо границя існує, то вона має таке ж значення).

Якщо , то ряд є збіжним. Якщо , то ряд є розбіжним. Якщо , то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Радикальна ознака є більш сильною ніж ознака д'Аламбера: якщо збіжність (розбіжність) доведена на основі ознаки д'Аламбера то вона завжди може бути доведена і на основі радикальної ознаки Коші , але не навпаки.[1] Наприклад, ряд є збіжним за радикальною ознакою, але за ознакою д'Аламбера про збіжність (розбіжність) цього ряду стверджувати не можна.

Інтегральна ознака Коші–Маклорена[ред. | ред. код]

Ряд можна порівнювати із інтегралом, для того, щоб визначити збіжність або розбіжність. Нехай невід'ємна та монотонно-спадна функція, така що . Якщо то ряд є збіжним. Але якщо інтеграл є розбіжним, то ряд також є розбіжним. Іншими словами, ряд є збіжним тоді і лише тоді, коли відповідний невласний інтеграл є збіжним.

Ознака збіжності узагальнених гармонічних рядів[ред. | ред. код]

Загальновживаним наслідком інтегральної ознаки є ознака збіжності для узагальненого гармонічного ряду. Нехай . Тоді збігається, якщо . При , отримуємо гармонічний ряд, який є розбіжним. При , отримуємо ряд обернених квадратів (задача Базеля) і цей ряд є збіжним до . У загальному випадку, для , ряд співпадає з дзета-функцією Рімана від , тобто .

Ознака порівняння[ред. | ред. код]

Якщо ряд є абсолютно збіжним та для достатньо великих , то ряд є абсолютно збіжним.

Гранична ознака порівняння[ред. | ред. код]

Якщо (тобто всі елементи обох послідовностей додатні) та границя існує, є скінченною та відмінною від нуля, тоді ряд є розбіжним тоді і лише тоді, коли ряд є розбіжним.

Ознака стиснення Коші[en][ред. | ред. код]

Нехай є незростаючою послідовністю. Тоді сума збігається тоді і лише тоді, коли сума збігається. Більше того, якщо вони збігаються, то справедлива нерівність .

Ознака Абеля[ред. | ред. код]

Нехай справедливі наступні твердження:

  • – збіжний ряд,
  • є монотонною послідовністю та
  • є обмеженою.

Тоді ряд також є збіжним.

Ознака абсолютної збіжності[ред. | ред. код]

Будь-який абсолютно збіжний ряд є збіжним.

Ознака Лейбніца[ред. | ред. код]

Припустимо, що справедливі наступні твердження:

  • та
  • для будь-якого , .

Тоді ряди та є збіжними.

Ознака Діріхле[ред. | ред. код]

Якщо послідовність дійсних чисел та послідовність комплексних чисел, які задовольняють такі умови:

  • ,
  • ,
  • , для всякого натурального ,

де деяка стала, тоді ряд є збіжним.

Ознака Раабе–Дюамеля[en][ред. | ред. код]

Нехай . Визначимо як якщо існує, то можливі такі варіанти:

  • — ряд є збіжним,
  • — ряд є розбіжним,
  • — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.

Існує альтернативне формулювання цієї ознаки. Нехай - послідовність дійсних чисел. Тоді, якщо існують такі та (натуральне число), що

, для всіх

то ряд є збіжним.

Ознака Бертрана[en][ред. | ред. код]

Нехай послідовність додатних чисел. Визначимо як

Якщо

існує, то можливі такі випадки:[2][3]

  • — ряд є збіжним,
  • — ряд є розбіжним,
  • — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.

Ознака Гауса[en][ред. | ред. код]

Нехай послідовність додатних чисел. Якщо для певного , то ряд є збіжним, якщо , і є розбіжним, якщо .[4]

Примітки[ред. | ред. код]

Приклади[ред. | ред. код]

Розглянемо ряд

 

 

 

 

(i)

З ознаки стиснення Коші[en] випливає, що (i) є скінченно збіжним, якщо

 

 

 

 

(ii)

є скінченно збіжним. Оскільки

то (ii) є геометричним рядом зі знаменником . (ii) є скінченно збіжним, коли знаменник геометричного ряду менший від одиниці (а саме, коли ). Отже, (i) є скінченно збіжним тоді і лише тоді, коли .

Збіжність добутків[ред. | ред. код]

Хоча більшість ознак визначають збіжність (розбіжність) нескінченних рядів, вони також можуть бути застосовані для визначення збіжності чи розбіжності нескінченних добутків. Цього можна досягти шляхом застосування наступної теореми: нехай послідовність додатних чисел. Тоді нескінченний добуток

є збіжним тоді і лише тоді, коли ряд Аналогічно, якщо виконується умова , то прямує до відмінної від нуля границі тоді і лише тоді, коли ряд є збіжним. Це може бути доведено за допомогою логарифмування добутку та застосування ознаки граничного порівняння.[5]

Джерела[ред. | ред. код]

Додаткова література[ред. | ред. код]

  • The Calculus, with Analytic Geometry (вид. 2nd). New York: Harper & Row. 1972. с. 655–737. ISBN 0-06-043959-9. 

Посилання[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

  1. Wachsmuth, Bert G. MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test. www.mathcs.org. 
  2. František Ďuriš, Infinite series: Convergence tests, pp. 24–9. Bachelor's thesis.
  3. Weisstein, Eric W. Bertrand's Test. mathworld.wolfram.com (en). Процитовано 2020-04-16. 
  4. * Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Gauss criterion. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  5. Belk, Jim (26 January 2008). Convergence of Infinite Products.