Теорема Лагранжа про чотири квадрати стверджує, що довільне натуральне число можна подати у виді суми чотирьох квадратів цілих чисел.
Тобто для довільного натурального числа n, існують цілі числа a, b, c, d , такі що :
![{\displaystyle n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000d9446dd360d7486259a4534c2fb6ab3605358)
Наприклад:
![{\displaystyle {\begin{aligned}1&=1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\2&=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}\\31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac14d49225aecbacff8d105d3678bd12aa4c8122)
Теорема доведена Лагранжем в 1770 році.
Довільне натуральне число, що не записується у виді
можна також записати як суму квадратів трьох чисел.
Для найменших натуральних чисел 1 і 2 розклад записано вище. Також для всіх чисел виконується тотожність чотирьох квадратів:
![{\displaystyle \ (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae264c9e530abba725902a8b45e02f8861183991)
![{\displaystyle \ (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5876848b56ca30fde6561a897ae26926d718167f)
![{\displaystyle \ (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202d03c604692dc82d5c8d6c8e53176e765678d0)
![{\displaystyle \ (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b64c90fef044c9224b99d45f83602aca57fa862)
Звідси випливає, що якщо два довільні натуральні числа можна подати у виді суми чотирьох квадратів, то це ж можна зробити і для їх добутку. Відповідно твердження теореми достатньо довести для непарних простих чисел.
Спершу для такого простого числа
існує натуральне число
для якого
для деяких цілих
Це випливає з того, що цілі числа
для
не є рівними за модулем
Справді, якщо для двох таких різних чисел
то
і або різниця
або сума
ділиться на
, що не є можливим.
Аналогічно числа
для
не є рівними за модулем
Загалом є
число виду
або
із вказаними умовами і відповідно хоча б два із них належать одному класу лишків за модулем
. Це мають бути деякі числа
і
, тобто
і відповідно існує ціле число
для якого
Оскільки
то
і звідси також
Зокрема також число
є сумою чотирьох квадратів
і один із доданків не ділиться на
.
Нехай тепер
є мінімальним натуральним числом, для якого існує розклад у суму чотирьох квадратів
де хоча б одне із цілих чисел
не ділиться на
. Для доведення теореми Лагранжа достатньо довести, що
Число
є непарним. Адже якщо
є парним, то парним є і
Але тоді або всі
є парними або всі непарними або два парними і два непарними. В будь-якому випадку за допомогою перепозначень можна вважати, що
і
мають однакову парність, а також
і
мають однакову парність. Тоді:
![{\displaystyle {\frac {mp}{2}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{3}-x_{4}}{2}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb98ca5a5c4dab6f5af91bc8ce8f3ec64cec6869)
Тобто
є сумою чотирьох квадратів не всі з яких діляться на
і це суперечить мінімальності числа
.
Якщо
є непарним числом, то існують числа
які є рівними
за модулем
і
Також не всі
діляться на
(в іншому випадку сума їх квадратів, яка є рівною
, ділилася б на
що не є можливим для
) і тому хоча б одне із чисел
не є рівним 0. Відповідно згідно означень
![{\displaystyle 0<y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}<4\left({\frac {m}{2}}\right)^{2}=m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de62e0aed957f5045520a244b1039be795895d4)
Водночас
і існує ціле число
для якого
Згідно тотожності чотирьох квадратів добуток
і
є рівний сумі квадратів деяких чотирьох цілих чисел і також:
![{\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=m^{2}m_{2}p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c9fc94c07a15401bbf9a0c60b713abd1bba62a)
Розглядаючи означення усіх
у тотожності чотирьох квадратів і враховуючи, що
і
є рівними за модулем
одержується, що всі
діляться на
, тобто
. Ділячи рівність
на
одержуємо, що
і
є рівним сумі чотирьох квадратів, що суперечить мінімальності