Теорема Ферма про суму двох квадратів

Теорема Ферма про суму двох квадратів в теорії чисел стверджує, що непарне просте число p є сумою двох квадратів

$p=x^{2}+y^{2},\,$

де x і y — цілі числа, тоді і тільки тоді, коли

$p\equiv 1{\pmod {4}}.$

Наприклад, прості числа 5, 13, 17, 29, 37 і 41 рівні 1 за модулем 4, тому вони рівні сумі квадратів:

$5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.$

Натомість прості числа 3, 7, 11, 19, 23 і 31 рівні 3 за модулем 4 і жодне з них не рівне сумі квадратів цілих чисел.

Доведення

Оскільки для довільного парного числа $2n,\ n\in \mathbb {Z}$ його квадрат $(2n)^{2}=4n^{2}\equiv 0\mod 4,$ а для довільного непарного $2n+1,\ n\in \mathbb {Z}$ відповідно $(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1\equiv 1\mod 4$ то сума квадратів двох цілих чисел за модулем 4 має бути рівною 0, 1 або 2. Відповідно жодне число рівне 3 за модулем 4 (зокрема і таке просте число) не може бути сумою двох квадратів цілих чисел.

Доведення того, що просте число $p\equiv 1{\pmod {4}}$ є сумою двох квадратів є складнішим. Наразі відомо досить багато доведень перше з яких опублікував Ейлер.

Перше доведення

Дане доведення вперше дав норвезький математик Аксель Туе.

Основою цього доведення є лема: якщо $n$ є додатним цілим числом і $a$ — ціле число, взаємно просте із $n$, то існують такі цілі числа $0<x,y\leqslant {\sqrt {n}}$ для яких або $ax\equiv y\mod n$ або $ax\equiv -y\mod n.$ Зокрема, як наслідок $n$ є дільником числа $a^{2}x^{2}-y^{2}.$

Для доведення цього факту розглянемо усі числа $ax-y$ для $0\leqslant x,y\leqslant {\sqrt {n}}$. Загалом цих чисел є $(\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor +1)^{2}>n,$ а тому хоча б два із них є рівними за модулем $n$. Нехай це числа $ax_{1}-y_{1}$ і $ax_{2}-y_{2}.$ Очевидно $x_{1}\neq x_{2}$ і $y_{1}\neq y_{2}$ і можна вибрати позначення так, що $x_{1}>x_{2}.$

Тоді $(ax_{1}-y_{1})-(ax_{2}-y_{2})=a(x_{1}-x_{2})-(y_{1}-y_{2})\equiv 0\mod n.$ Якщо позначити $x=x_{1}-x_{2}$ і $y=|y_{1}-y_{2}|$ то числа $x,y$ задовольняють умови леми.

Згідно теореми Вілсона $(p-1)!\ \equiv \ -1\ \mod p.$ Якщо $p=4k+1$ то для $1\leqslant i\leqslant 2k$ маємо $2k+i\equiv -2k-i+1\mod p$ і тому

$-1\equiv (p-1)!\ \equiv (2k)!\cdot (-2k)\cdot (-(2k-1))\cdot \ldots \cdot -2\cdot -1\equiv ((2k)!)^{2}\cdot (-1)^{2k}\equiv ((2k)!)^{2}\mod p.$

Відповідно, якщо позначити $N=(2k)!$, то $p$ є дільником числа $N^{2}+1.$ Числа $p$ і $N$ є взаємно простими, а тому згідно леми існують числа $0<x,y<{\sqrt {p}}$ для яких $p$ є дільником числа $N^{2}x^{2}-y^{2}.$

Оскільки $p\ |\ N^{2}x^{2}-y^{2}$ і $p\ |\ N^{2}+1$, то також $p\ |\ (N^{2}+1)x^{2}-(N^{2}x^{2}-y^{2})=x^{2}+y^{2}.$ Але з $0<x,y<{\sqrt {p}}$ випливає, що $x^{2}+y^{2}<2p$ і тому $x^{2}+y^{2}=p.$

Друге доведення

Це доведення дане Ріхардом Дедекіндом використовує поняття Гаусових чисел і ідеї комутативної алгебри і алгебричної теорії чисел.

Гаусовими числами називаються комплексні числа виду $a+bi$, де $a,b\in \mathbb {Z} .$ Якщо ввести норму числа як $N(a+bi)=a^{2}+b^{2},$ то із цією нормою гаусові числа утворюють евклідове кільце. Тому, як і довільне евклідове кільце, воно є кільцем головних ідеалів, а тому і факторіальним кільцем. Тобто кожне гаусове число записується як добуток незвідних елементів і кожен незвідний елемент є простим і навпаки.

Якщо $p\equiv 1{\pmod {4}}$, то як і у попередньому доведенні існує ціле число $n$ для якого $n^{2}+1$ ділиться на $p$ (наприклад $n=(2k)!$, де $p=4k+1$). У кільці гаусових чисел тоді елемент $p$ ділить $n^{2}+1$, що є добутком елементів $n+i$ і $n-i$. Проте $p$ не ділить жоден із цих множників оскільки елемент уявна частина якого є рівною $\pm {\frac {1}{p}}$ не є гаусовим числом. Відповідно у кільці гаусових чисел $p$ не є простим елементом і тому не є незвідним. Тобто існують незвідні елементи $q_{1},\ldots ,q_{m}$ добуток яких є рівним $p$. Норма усіх цих елементів є більшою, ніж 1 і добуток норм має дорівнювати $N(p)=p^{2}.$ Єдиний варіант при якому це можливо, якщо $p=q_{1}q_{2}$ і $N(q_{1})=N(q_{2})=p.$ Якщо тепер $q_{1}=x+yi$ то $p=N(q_{1})=x^{2}+y^{2},$ що і дає розклад $p$ як суми двох квадратів.

Також у цьому випадку $q_{2}=x-yi.$ Якщо також $p=t^{2}+s^{2}$ є іншим записом числа як суми квадратів, тоді $p=(t+si)(t-si)$ є іншим записом $p$ через незвідні елементи. Але із теорії факторіальних кілець тоді випливає, що $t+si=\pm (x+yi)$ або $t+si=\pm (x-yi).$ У будь-якому випадку тоді $t^{2}=x^{2},\ s^{2}=y^{2}$ і запис $p$ як суми двох квадратів є єдино можливим.

Третє доведення

Коротке доведення теореми, сформульоване одним реченням дав німецький математик Дон Цагір.

Якщо $p=4k+1$ є простим числом і позначаючи скінченну підмножину $S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}$ множини трійок натуральних чисел, на $S$ існують дві інволюції. Простіша визначається як $(x,y,z)\mapsto (x,z,y)$, Усі її можливі її нерухомі точки виглядають як $(x,y,y)$ і дають розклади $p$ як суму двох квадратів. Відповідно для доведення теореми достатньо довести наявність хоча б однієї такої нерухомої точки.

Інша інволюція множини $S$ записується як:

$(x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~y-x-z),\quad \,\,\,x<y-z\\(2y-x,~y,~x-y+z),\quad \,\,\,y-z<x<2y\\(x-2y,~x-y+z,~y),\quad \,\,\,x>2y\end{cases}}$

Її єдиною нерухомою точкою є $(1,1,k)$. Оскільки всі інші точки розбиваються на пари, елементи яких переводяться один в інший під дією інволюції, то потужність множини $S$ є непарним числом. Але під дією будь-якої інволюції на скінченній множині $S$ елементи множини діляться на пари, елементи яких переводяться один в інший і нерухомі точки. Оскільки множина $S$ має непарну кількість елементів, то будь-яка інволюція має хоча б одну нерухому точку. Зокрема для стандартної інволюції $(x,y,z)\mapsto (x,z,y)$ існує деяка нерухома точка $(x,y,y)$ і тоді $p=x^{2}+4y^{2}.$

Твердження для довільних натуральних чисел

Числа $1=1+0$ і $2=1+1$ є рівними сумі двох квадратів. Також із тотожності Брамагупти:

$\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}$

випливає, що якщо два числа можна записати як суму квадратів, то і їх добуток буде сумою квадратів.

Послідовно використовуючи цю властивість одержується, що будь-яке число простими дільниками якого є число 2 і всі непарні прості числа $p\equiv 1\mod {4}$ може бути записане як сума квадратів.

Також якщо $n=x^{2}+y^{2}$, то для довільного цілого числа $m$: $m^{2}n=(mx)^{2}+(my)^{2}$, звідси зокрема будь-яке ціле число у розкладі якого на прості множники, прості числа виду $p\equiv 3{\pmod {4}}$ присутні із парними степенями теж може бути записане як сума двох квадратів.

Нехай тепер $p\equiv 3\mod {4}$ є простим числом і $p|(x^{2}+y^{2}).$ Тоді також $p|x$ і відповідно також $p|y.$ Справді в іншому випадку числа $x^{2}$ і $y^{2}$ є взаємно простими із $p$ і $x^{2}\equiv -y^{2}\mod p.$ Тоді згідно малої теореми Ферма:

$1\equiv x^{p-1}\equiv (x^{2})^{p-1 \over 2}\equiv (-y^{2})^{p-1 \over 2}\equiv (-1)^{p-1 \over 2}y^{p-1}\equiv -1\mod p,$

що є неможливим.

Відповідно якщо таке просте число є дільником числа $n=x^{2}+y^{2}$ тоді також $p|x$ і $p|y.$ Звідси, як наслідок $p^{2}|n.$ Тому якщо деяке число $n$ ділиться на $p$ але не $p^{2}$ воно не є сумою двох квадратів.

Аналогічно, якщо $n=x^{2}+y^{2}$ і $n=p^{2k+1}m$, де $p\equiv 3\mod {4}$ і $m$ не ділиться на $p$, то як і вище $p|x$ і $p|y$ і якщо $x=px_{1}$ і $y=py_{1}$, то також $n_{1}=p^{2k-1}m=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}.$

Продовжуючи цей процес отримуємо після k кроків: $pm=x_{k}^{2}+y_{k}^{2},$ що згідно попереднього є неможливим. Отже і число $n=p^{2k+1}m$ не є сумою двох квадратів.

Остаточно твердження теореми для всіх цілих чисел є таким: число $n$ є рівним сумі квадратів двох цілих чисел тоді і тільки тоді коли у розкладі числа $n$ на прості множники, прості числа виду $p\equiv 3\mod {4}$ входять із парними степенями.

Література

• D. A. Cox (1989). Primes of the Form x2+ny2. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-50654-0.