Двоїстість (теорія категорій)

Двоїстість у теорії категорій — співвідношення між властивостями категорії C і так званими двоїстими властивостями двоїстої категорії C^op. Взявши твердження щодо категорії C і помінявши місцями образ і прообраз кожного морфізму, як і порядок застосування морфізмів, отримаємо двоїсте твердження, що стосується категорії C^op. Принцип двоїстості полягає в тому, що дійсні твердження після такої операції переходять у дійсні, а хибні — в хибні.

Формальне визначення

Мова теорії категорій визначається як мова першого порядку з двома видами символів — об'єктами та морфізмами, з властивістю об'єкта бути образом або прообразом морфізму, а також із символом для композиції морфізмів.

Нехай σ — будь-яке слово мови. Двоїсте йому слово σ^op утворюється за такими правилами:

• поміняти місцями всі «образи» на «прообрази» σ,
• обернути порядок композиції морфізмів, тобто всі входження $g\circ f$ замінити на $f\circ g$.

Іншими словами, необхідно обернути всі стрілки та переставити аргументи всіх композицій.

Двоїстість — це спостереження, що σ виконується в деякій категорії C тоді й лише тоді, коли σ^op виконано в C^op.

Приклади

• Морфізм $f\colon A\to B$ — мономорфізм, коли з $f\circ g=f\circ h$ випливає $g=h$. Застосувавши операцію двоїстості, отримуємо твердження про те, що з $g\circ f=h\circ f$ випливає $g=h$. Для морфізму $f\colon B\to A$, це означає точно те, що f — епіморфізм. Отже, властивість «бути мономорфізмом» двоїста властивості «бути епіморфізмом».
• Границя і кограниця — двоїсті поняття.
• Початковий об'єкт та термінальний об'єкт — двоїсті поняття.

Література

• И. М. Виноградов. Двойственная категория // Математическая энциклопедия. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985.
• И. М. Виноградов. Двойственности принцип // Математическая энциклопедия. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985.
• И. М. Виноградов. S-двойственность // Математическая энциклопедия. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985.