Композиція функцій

Компози́ція (суперпозиція) фу́нкцій (відображень) в математиці приймає дві функції, $f$ і $g$ і повертає нову функцію $h(x):=(f\circ g)(x)=f(g(x))$ . Тобто функція $f$ застосовується^[en] після застосування $g$ до $x$ . Вираз $(f\circ g)$ вимовляється як «композиція $f$ і $g$ »^[1].

Зворотна композиція застосовує операцію у протилежному порядку: спочатку $f$ , а потім $g$ . Інтуїтивно зворотну композицію можна уявити як процес ланцюгового з'єднання, у якому результат функції $f$ стає вхідними даними для функції $g$ .

Композиція функцій є окремим випадком композиції відношень^[en], яка також іноді позначається символом $\circ$ . Як наслідок, усі властивості композиції відношень є справедливими й для композиції функцій^[2], наприклад асоціативність.

Приклади

Композиція функцій на скінченній множині: якщо $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , а $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , то $g \circ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ , як показано на рисунку.
Композиція функцій на нескінченній множині: якщо $f : R \to R$ (де $R$ множина всіх дійсних чисел) задана як $f (x) = 2 x + 4$ , а $g : R \to R$ задана як $g (x) = x 3$ , тоді:
$(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4$ , і

$(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3$ .
Якщо висота літака в момент часу $t$ становить $a (t)$ , а атмосферний тиск на висоті $x$ дорівнює $p (x)$ , то $(p \circ a)(t)$ — це тиск навколо літака в момент часу $t$ .
Функції, визначені на скінченних множинах, які змінюють порядок своїх елементів (наприклад, перестановки), можуть бути об'єднані на тій самій множині; у такому разі це буде композиція перестановок.

Властивості

Композиція функцій завжди є асоціативною — ця властивість успадкована від композиції відношень^[en]^[2]. Тобто, якщо функції $f$ , $g$ і $h$ можна композиційно поєднати, то $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ ^[3]. Оскільки дужки не змінюють результату, їх зазвичай опускають.

У строгому сенсі композиція $g \circ f$ має зміст лише тоді, коли кодомен $f$ збігається з доменом $g$ ; у ширшому сенсі достатньо, щоб перший був невласною підмножиною другого^{[nb 1]}. Крім того, часто зручно неявно обмежувати область визначення $f$ так, щоб $f$ набувала значень лише з області визначення $g$ . Наприклад, композицію $g \circ f$ функцій $f : R \to (-\infty,+9]$ , заданої формулою $f (x) = 9 - x 2$ та $g : [0,+\infty) \to R$ , заданої формулою $g(x)={\sqrt {x}},$ можна визначити на інтервалі $[-3,+3]$ .

Функції $g$ і $f$ називають такими, що комутують між собою, якщо $g \circ f = f \circ g$ . Комутативність є спеціальною властивістю, притаманною лише окремим функціям і часто лише за особливих умов. Наприклад, |x| + 3 = |x + 3| лише тоді, коли $x \geq 0$ . На рисунку наведено ще один приклад.

Композиція взаємно однозначних (ін'єктивних) функцій завжди є взаємно однозначною. Так само композиція сюр'єктивних функцій завжди є сюр'єктивною. Звідси випливає, що композиція двох бієкцій також є бієкцією. Обернена функція до композиції (за умови оборотності) має властивість $(f \circ g) -1 = g -1 \circ f -1$ ^[4].

Похідні композицій диференційовних функцій знаходять за допомогою правила ланцюга. Вищі похідні таких функцій задаються формулою Фаа ді Бруно^[3].

Композицію функцій іноді описують як різновид множення у просторі функцій, однак вона має зовсім інші властивості, ніж поточкове множення функцій (зокрема, композиція не є комутативною)^[5].

Композиційні моноїди

Докладніше: Напівгрупа перетворень^[en]

Припустімо, що маємо дві (або більше) функції $f : X \to X,$ $g : X \to X$ з однаковою областю визначення та кодоменами; такі функції часто називають перетвореннями. Тоді можна утворювати ланцюжки перетворень, складених разом, наприклад $f \circ f \circ g \circ f$ . Такі ланцюжки мають алгебраїчну структуру моноїда, який називають моноїдом перетворень^[en] або (значно рідше) композиційним моноїдом. Загалом моноїди перетворень можуть мати надзвичайно складну структуру. Одним із особливо показових прикладів є крива де Рама^[en]. Множину всіх функцій $f : X \to X$ називають повною напівгрупою перетворень^[en]^[6] або симетричною напівгрупою^[7] на $X$ . (Фактично можна визначити дві напівгрупи залежно від того, чи операцію напівгрупи задають як ліву або праву композицію функцій^[8]).

Якщо задані перетворення є бієктивними (а отже, оборотними), то множина всіх можливих комбінацій цих функцій утворює групу перетворень (також відому як перестановна група^[en]); при цьому кажуть, що ця група породжена даними функціями.

Множина всіх бієктивних функцій $f : X \to X$ (які називають перестановками) утворює групу відносно композиції функцій. Це симетрична група, яку інколи також називають композиційною групою. Фундаментальний результат теорії груп — теорема Келі — по суті стверджує, що будь-яка група насправді є підгрупою деякої симетричної групи (з точністю до ізоморфізму)^[9].

У симетричній напівгрупі (усіх перетворень) також існує слабше, неєдине поняття оберненого елемента (так званий псевдообернений елемент), оскільки симетрична напівгрупа є регулярною напівгрупою^[en]^[10].

Функціональні степені

Докладніше: Ітерація функції

Якщо $Y \subseteq X$ , то функція $f:X\to Y$ може композиційно поєднуватися сама з собою; це іноді позначають як $f^{2}$ . Тобто:

(f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)

(f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)

(f\circ f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)

Загальніше, для будь-якого натурального числа $n \geq 2$ $n$ -й функціональний степінь можна визначити індуктивно як $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ . Таке позначення було запроваджене Гансом Генріхом Бюрманом^[en]^{[джерело?]}^[11]^[12] та Джоном Фредеріком Вільямом Гершелем^[13]^[11]^[14]^[12]. Багаторазову композицію функції самої з собою називають ітерацією функції.

За домовленістю $f 0$ визначають як тотожне відображення на області визначення $f$ , тобто $id X$ .
Якщо $Y = X$ і функція $f : X \to X$ має обернену функцію $f -1$ , то від'ємні функціональні степені $f - n$ для $n > 0$ визначаються як відповідний степінь оберненої функції: $f - n = (f -1) n$ ^[13]^[11]^[12].

Примітка: Якщо $f$ набуває значень у кільці (зокрема для дійснозначних або комплекснозначних $f$ ), можливе непорозуміння, оскільки $f n$ може також означати $n$ -кратний добуток $f$ , наприклад $f 2 (x) = f (x) \cdot f (x)$ ^[12]. Для тригонометричних функцій зазвичай мають на увазі саме друге значення, принаймні для додатних показників^[12]. Наприклад, у тригонометрії цей верхній індекс позначає стандартне піднесення до степеня, якщо він вживається з тригонометричними функціями:

$sin 2 (x) = sin(x) \cdot sin(x)$ .

Однак для від’ємних показників (особливо −1) воно зазвичай означає обернену функцію, наприклад $tan -1 = arctan \neq 1/tan$ .

У деяких випадках, коли для заданої функції $f$ рівняння $g \circ g = f$ має єдиний розв'язок $g$ , цю функцію можна визначити як функціональний квадратний корінь^[en] з $f$ і записати $g = f 1/2$ .

Загальніше, якщо для деякого натурального числа $n > 0$ рівняння $g n = f$ має єдиний розв'язок, тоді $f m / n$ можна визначити як $g m$ .

За додаткових обмежень цю ідею можна узагальнити так, що кількість ітерацій стає неперервним параметром; у цьому разі така система називається потоком^[en] і задається через розв'язки рівняння Шредера^[en]. Ітеровані функції та потоки природно виникають у вивченні фракталів і динамічних систем.

Щоб уникнути двозначності, деякі математики^{[джерело?]} використовують знак $\circ$ для позначення саме композиційного змісту, записуючи $f \circ n (x)$ для $n$ -ї ітерації функції $f (x)$ , наприклад, $f \circ3 (x)$ означає $f (f (f (x)))$ . З тією ж метою Бенджамін Пірс^[15]^[12] використовував позначення $f [n] (x)$ , тоді як Альфред Прінгсгайм^[en] та Жюль Мольк^[en] натомість пропонували позначення $n f (x)$ ^[16]^[12]^{[nb 2]}.

Альтернативні позначення

Багато математиків, зокрема в теорії груп, опускають знак композиції, записуючи $gf$ замість $g \circ f$ ^[17].

У середині ХХ століття деякі математики запровадили постфіксну нотацію, записуючи $xf$ замість $f (x)$ та $(xf) g$ замість $g (f (x))$ ^[18]. У багатьох випадках така нотація є природнішою за префіксну, зокрема в лінійній алгебрі, коли $x$ є вектором-рядком, а $f$ і $g$ позначають матриці, а композиція здійснюється множенням матриць. Порядок тут має вирішальне значення, оскільки композиція функцій загалом не є комутативною. Послідовне застосування перетворень праворуч узгоджується з напрямом читання зліва направо.

Математики, які використовують постфіксну нотацію, можуть писати « $fg$ », маючи на увазі: спочатку застосувати $f$ , а потім $g$ , відповідно до порядку появи символів у постфіксній нотації; через це позначення « $fg$ » стає неоднозначним. У комп’ютерних науках для цього можуть писати « $f; g$ »^[19], чітко розрізняючи порядок композиції. Щоб відрізнити оператор лівої композиції від текстової крапки з комою, у Z-нотації для лівої композиції відношень^[en]^[20]. Оскільки всі функції є бінарними відношеннями, коректно використовувати «товсту» крапку з комою і для композиції функцій (докладніше див. статтю про композицію відношень^[en]).

Оператор композиції

Докладніше: Оператор композиції^[en]

Для заданої функції $g$ , оператор композиції $C g$ визначають як оператор, що відображає функції у функції за формулою $C_{g}f=f\circ g.$ Оператори композиції вивчаються в теорії операторів.

У мовах програмування

Докладніше: Композиція функцій (інформатика)^[en]

Композиція функцій у тій чи іншій формі трапляється в багатьох мовах програмування.

Багатозмінні функції

Для багатозмінних функцій можлива часткова композиція. Функцію, що виникає тоді, коли деякий аргумент $x i$ функції $f$ замінюють функцією $g$ , у деяких контекстах комп'ютерної інженерії називають композицією $f$ і $g$ та позначають $f | x i = g$ $f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).$

Коли $g$ є простою сталою $b$ , композиція вироджується у (часткове) підставлення значення; результат також називають звуженням або кофактором^[21].

$f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).$

Загалом композиція багатозмінних функцій може залучати кілька інших функцій як аргументи, як, наприклад, у визначенні примітивно-рекурсивної функції. Нехай $f$ — $n$ -арна функція, а $g 1, ..., g n$ — $n$ $m$ -арних функцій. Тоді композицією $f$ з $g 1, ..., g n$ є $m$ -арна функція $h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).$

Іноді це називають узагальненою композицією або суперпозицією f з $g 1, ..., g n$ ^[22]. Згадану раніше часткову композицію лише за одним аргументом можна отримати як окремий випадок цієї загальнішої схеми, поклавши всі функції-аргументи, крім однієї, відповідно вибраними проєкційними функціями. У цій узагальненій схемі $g 1, ..., g n$ можна розглядати як одну векторну (кортеж-значну) функцію; у такому разі це точно відповідає стандартному означенню композиції функцій^[23].

Множина фінітарних (скінченноарних) операцій на деякій основній множині X називається клоном, якщо вона містить усі проєкції та є замкненою відносно узагальненої композиції. Клон зазвичай містить операції різних арностей^[22]. Поняття комутації також має цікаве узагальнення для багатозмінного випадку; функція f арності n комутує з функцією g арності m якщо f є гомоморфізмом, що зберігає g, і навпаки, тобто^[22]: $f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).$

Унарна операція завжди комутує сама з собою, проте це не обов'язково так для бінарної (або вищої за арністю) операції. Бінарна (або вищої арності) операція, що комутує сама з собою, називається медіальною або ентропійною^[en]^[22].

Узагальнення

Композицію^[en] можна узагальнити на довільні бінарні відношення. Якщо $R \subseteq X \times Y$ і $S \subseteq Y \times Z$ — два бінарні відношення, то їхня композиція визначається як

$R\circ S=\{(x,z)\in X\times Z:(\exists y\in Y)((x,y)\in R\,\land \,(y,z)\in S)\}.$

Розглядаючи функцію як окремий випадок бінарного відношення (а саме — функціональне відношення), бачимо, що композиція функцій задовольняє означення композиції відношень. Малий кружок $R \circ S$ використовується як інфіксне позначення композиції як для відношень^[en], так і для функцій. Однак у разі композиції функцій $(g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))$ порядок запису в тексті є оберненим, щоб наочно відобразити послідовність виконання операцій.

Композиція визначається так само і для часткових функцій, а теорема Келі має свій аналог — теорему Вагнера-Престона^[en]^[24].

Категорія множин із функціями як морфізмами є прототиповою категорією. Аксіоми категорії фактично натхненні властивостями (а також самим означенням) композиції функцій^[25]. Структури, задані композицією, аксіоматизуються та узагальнюються в теорії категорій через поняття морфізму як категоріально-теоретичної заміни функцій. Обернений порядок композиції у формулі $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1)$ застосовується і для композиції відношень^[en] через обернені відношення, а отже і у теорії груп. Такі структури утворюють дагер-категорії^[en].

Стандартна «основа» математики починається з множин та їхніх елементів. Однак можливий і інший початок — аксіоматизація не елементів множин, а функцій між множинами. Це можна здійснити, використовуючи мову теорії категорій і універсальні конструкції.

… відношення належності для множин часто можна замінити операцією композиції функцій. Це приводить до альтернативної основи математики на базі категорій — зокрема, на категорії всіх функцій. Значна частина математики є динамічною, оскільки вона має справу з морфізмами об'єкта в інший об'єкт того самого типу. Такі морфізми (як-от функції) утворюють категорії, і тому категоріальний підхід добре відповідає завданню впорядкування та осмислення математики. Саме це, по суті, і має бути метою належної філософії математики.
- Саундерс Мак-Лейн^[en], Математика, форма та функція^[en]^[26]

Типографія

Символ композиці $\circ$ кодується як U+2218 ∘ RING OPERATOR (HTML ∘); подібні за виглядом символи наведено у статті про символ градуса. у TeX він записується як \circ.

Див. також

Павутинна діаграма^[en] — графічна техніка для композиції функцій
Комбінаторна логіка
Кільце композиції^[en] — формальна аксіоматизація операції композиції
Потік (математика)^[en]
Композиція функцій (інформатика)^[en]
Випадкова величина — розподіл функції випадкової величини
Функціональна декомпозиція^[en]
Функціональний квадратний корінь^[en]
Функційне рівняння
Функція вищого порядку
Нескінченні композиції аналітичних функцій^[en]
Ітерація функції
Лямбда-числення

Коментарі

↑ Строге розуміння вживається, наприклад, у теорії категорій, де відношення підмножини моделюється явно за допомогою функції включення^[en].
↑ Позначення $n f (x)$ для композицій функцій, запропоноване Альфредом Прінгсгаймом^[en] та Жюлем Мольком^[en] (1907), не слід плутати з позначенням $n x$ , яке використовував Руді Ракер (1982) і яке було запроваджене Гансом Маурером (1901) та Рубеном Луїсом Гудштейном^[en] (1947) для тетрації, а також із передверхнім індексом $n x$ , введеним Девідом Паттерсоном Еллерманом^[en] (1995) для позначення коренів.

Примітки

↑ Composition of Functions. nool.ontariotechu.ca (англ.). Процитовано 7 лютого 2025.
↑ ^а ^б Velleman, Daniel J. (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. с. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.
↑ ^а ^б Weisstein, Eric W. Composition. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 28 серпня 2020.
↑ Rodgers, Nancy (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations (англ.). John Wiley & Sons. с. 359—362. ISBN 978-0-471-37122-9.
↑ 3.4: Composition of Functions. Mathematics LibreTexts (англ.). 16 січня 2020. Процитовано 28 серпня 2020.
↑ Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups (англ.). p. 334: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1493-1.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Grillet, Pierre A. (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory (англ.). p. 2: CRC Press. ISBN 978-0-8247-9662-4.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Dömösi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2005). Algebraic Theory of Automata Networks: An introduction (англ.). p. 8: SIAM. ISBN 978-0-89871-569-9.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Carter, Nathan (9 квітня 2009). Visual Group Theory (англ.). p. 95: MAA. ISBN 978-0-88385-757-1.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Ganyushkin, Olexandr; Mazorchuk, Volodymyr (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction (англ.). p. 24: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-84800-281-4.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ ^а ^б ^в Herschel, John Frederick William (1820). Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences. A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences (англ.). Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. с. 1–13 [5–6]. Архів оригіналу за 4 серпня 2020. Процитовано 4 серпня 2020. [1] (Примітка. Тут Гершель посилається на свою роботу 1813 року та згадує старішу роботу Ганса Генріха Бюрмана^[en].)
↑ ^а ^б ^в ^г ^д ^е ^ж Cajori, Florian (1952) [March 1929]. §472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions. A History of Mathematical Notations (англ.). Т. 2 (вид. 3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd). Chicago, USA: Open Court Publishing Company^[en]. с. 108, 176—179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Процитовано 18 січня 2016. […] §473. Iterated logarithms […] Наведемо тут символіку, використану Прінгсгаймом^[en] і Мольком^[en] у їхній спільній статті в Encyclopédie: "²log_b a = log_b (log_b a), …, ^k+1log_b a = log_b (^klog_b a)."^[a] […] §533. Позначення обернених функцій у Джона Гершеля, sin⁻¹ x, tan⁻¹ x, тощо було опубліковане ним у Philosophical Transactions of the Royal Society за 1813 рік. Він пише (p. 10): "Це позначення cos.⁻¹ e не слід розуміти як 1/cos. e, а як те, що зазвичай записують так arc (cos.=e)." Він визнає, що деякі автори вживають cos.^m A у значенні (cos. A)^m, однак обґрунтовує власне позначення, зауважуючи, що оскільки d² x, Δ³ x, Σ² x означають dd x, ΔΔΔ x, ΣΣ x, то слід писати sin.² x для sin. sin. x, log.³ x для log. log. log. x. Так само, як ми пишемо d⁻ⁿ V=∫ⁿ V, можемо аналогічно писати sin.⁻¹ x=arc (sin.=x), log.⁻¹ x.=c^x. Через кілька років Гершель пояснив, що у 1813 році він уживав позначення fⁿ(x), f⁻ⁿ(x), sin.⁻¹ x, тощо, «як він тоді вважав, уперше. Проте за останні кілька місяців йому стала відома праця німецького аналітика Бюрмана^[en], у якій те саме було викладено значно раніше. Однак той [Бюрман], здається, не звернув уваги на зручність застосування цієї ідеї до обернених функцій tan⁻¹, тощо і, вочевидь, зовсім не усвідомлював оберненого числення функцій, яке з цього випливає». Гершель додає: «Симетрія цього позначення і, передусім, нові та надзвичайно широкі погляди, які воно відкриває на природу аналітичних операцій, здаються такими, що виправдовують його загальне прийняття»^[b] […] §535. Збереження конкуруючих позначень для оберненої функції.— […] Використання гершелівського позначення зазнало незначної зміни в книгах Бенджаміна Пірса з метою усунути головне заперечення проти нього; Пірс писав: "cos^[−1] x," "log^[−1] x."^[c] […] §537. Степені тригонометричних функцій.—Для позначення, скажімо, квадрата sin x, використовувались три основні позначення, а саме (sin x)², sin x², sin² x. Нині переважає позначення sin² x, хоча перше з них найменше піддається хибному тлумаченню. У випадку sin² x можливі два тлумачення: по-перше, sin x ⋅ sin x; по-друге^[d], sin (sin x). Оскільки функції останнього типу зазвичай не трапляються, небезпека неправильного тлумачення тут значно менша, ніж у випадку log² x, де log x ⋅ log x і log (log x) часто з'являються в аналізі. […] Позначення sinⁿ x для (sin x)ⁿ було широко вживаним і нині є загальноприйнятим. […] (xviii+367+1 включно з 1 сторінкою додатків) (Примітка: ISBN і посилання на передрук 2-го видання видавництва Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)
↑ ^а ^б Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. On a Remarkable Application of Cotes's Theorem. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (англ.). London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR 107384. S2CID 118124706.
↑ Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (фр.). Т. IV. p. 229.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Peirce, Benjamin (1852). Curves, Functions and Forces (англ.). Т. I (вид. new). Boston, USA. с. 203.
↑ Pringsheim, Alfred; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (фр.). Т. I. p. 195. Part I.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Ivanov, Oleg A. (1 січня 2009). Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students (англ.). pp. 217–: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4808-1.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Gallier, Jean (2011). Discrete Mathematics (англ.). p. 118: Springer. ISBN 978-1-4419-8047-2.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Barr, Michael; Wells, Charles (1998). Category Theory for Computing Science (PDF) (англ.). с. 6. Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 23 серпня 2014. (Примітка. Це оновлена та безкоштовна версія книги, спочатку опублікованої видавництвом Prentice Hall у 1990 році під номером ISBN 978-0-13-120486-7.)
↑ ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23
↑ Bryant, R. E. (Серпень 1986). Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis (PDF). IEEE Transactions on Computers (англ.). pp. 677–691. C-35 (8). doi:10.1109/tc.1986.1676819. S2CID 10385726.{{cite journal}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ ^а ^б ^в ^г Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics (англ.). 79–80, 90–91: CRC Press. ISBN 978-1-4398-5129-6. {{cite book}}: Зовнішнє посилання в |місце= (довідка)Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Tourlakis, George (2012). Theory of Computation (англ.). p. 100: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-31533-0.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Lipscomb, S. (1997). Symmetric Inverse Semigroups. AMS Mathematical Surveys and Monographs (англ.). p. xv. ISBN 0-8218-0627-0.
↑ Hilton, Peter; Wu, Yel-Chiang (1989). A Course in Modern Algebra (англ.). p. 65: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-50405-4.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
↑ Saunders Mac Lane - Quotations. Maths History (англ.). Процитовано 13 лютого 2024.

Зовнішні посилання

Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Composite function, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
"Композиція функцій" Брюса Етвуда, Wolfram Demonstrations Project^[en], 2007.

[NB_Strict-4] Строге розуміння вживається, наприклад, у теорії категорій, де відношення підмножини моделюється явно за допомогою функції включення^[en].

[NB_Rucker-18] Позначення $n f (x)$ для композицій функцій, запропоноване Альфредом Прінгсгаймом^[en] та Жюлем Мольком^[en] (1907), не слід плутати з позначенням $n x$ , яке використовував Руді Ракер (1982) і яке було запроваджене Гансом Маурером (1901) та Рубеном Луїсом Гудштейном^[en] (1947) для тетрації, а також із передверхнім індексом $n x$ , введеним Девідом Паттерсоном Еллерманом^[en] (1995) для позначення коренів.

[1] Composition of Functions. nool.ontariotechu.ca (англ.). Процитовано 7 лютого 2025.

[Velleman_2006-2] а ^б Velleman, Daniel J. (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. с. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.

[:0-3] а ^б Weisstein, Eric W. Composition. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 28 серпня 2020.

[Rodgers_2000-5] Rodgers, Nancy (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations (англ.). John Wiley & Sons. с. 359—362. ISBN 978-0-471-37122-9.

[6] 3.4: Composition of Functions. Mathematics LibreTexts (англ.). 16 січня 2020. Процитовано 28 серпня 2020.

[Hollings_2014-7] Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups (англ.). p. 334: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1493-1.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Grillet_1995-8] Grillet, Pierre A. (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory (англ.). p. 2: CRC Press. ISBN 978-0-8247-9662-4.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Dömösi-Nehaniv_2005-9] Dömösi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2005). Algebraic Theory of Automata Networks: An introduction (англ.). p. 8: SIAM. ISBN 978-0-89871-569-9.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Carter_2009-10] Carter, Nathan (9 квітня 2009). Visual Group Theory (англ.). p. 95: MAA. ISBN 978-0-88385-757-1.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Ganyushkin-Mazorchuk_2008-11] Ganyushkin, Olexandr; Mazorchuk, Volodymyr (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction (англ.). p. 24: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-84800-281-4.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Herschel_1820-12] а ^б ^в Herschel, John Frederick William (1820). Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences. A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences (англ.). Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. с. 1–13 [5–6]. Архів оригіналу за 4 серпня 2020. Процитовано 4 серпня 2020. [1] (Примітка. Тут Гершель посилається на свою роботу 1813 року та згадує старішу роботу Ганса Генріха Бюрмана^[en].)

[Cajori_1929-13] а ^б ^в ^г ^д ^е ^ж Cajori, Florian (1952) [March 1929]. §472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions. A History of Mathematical Notations (англ.). Т. 2 (вид. 3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd). Chicago, USA: Open Court Publishing Company^[en]. с. 108, 176—179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Процитовано 18 січня 2016. […] §473. Iterated logarithms […] Наведемо тут символіку, використану Прінгсгаймом^[en] і Мольком^[en] у їхній спільній статті в Encyclopédie: "²log_b a = log_b (log_b a), …, ^k+1log_b a = log_b (^klog_b a)."^[a] […] §533. Позначення обернених функцій у Джона Гершеля, sin⁻¹ x, tan⁻¹ x, тощо було опубліковане ним у Philosophical Transactions of the Royal Society за 1813 рік. Він пише (p. 10): "Це позначення cos.⁻¹ e не слід розуміти як 1/cos. e, а як те, що зазвичай записують так arc (cos.=e)." Він визнає, що деякі автори вживають cos.^m A у значенні (cos. A)^m, однак обґрунтовує власне позначення, зауважуючи, що оскільки d² x, Δ³ x, Σ² x означають dd x, ΔΔΔ x, ΣΣ x, то слід писати sin.² x для sin. sin. x, log.³ x для log. log. log. x. Так само, як ми пишемо d⁻ⁿ V=∫ⁿ V, можемо аналогічно писати sin.⁻¹ x=arc (sin.=x), log.⁻¹ x.=c^x. Через кілька років Гершель пояснив, що у 1813 році він уживав позначення fⁿ(x), f⁻ⁿ(x), sin.⁻¹ x, тощо, «як він тоді вважав, уперше. Проте за останні кілька місяців йому стала відома праця німецького аналітика Бюрмана^[en], у якій те саме було викладено значно раніше. Однак той [Бюрман], здається, не звернув уваги на зручність застосування цієї ідеї до обернених функцій tan⁻¹, тощо і, вочевидь, зовсім не усвідомлював оберненого числення функцій, яке з цього випливає». Гершель додає: «Симетрія цього позначення і, передусім, нові та надзвичайно широкі погляди, які воно відкриває на природу аналітичних операцій, здаються такими, що виправдовують його загальне прийняття»^[b] […] §535. Збереження конкуруючих позначень для оберненої функції.— […] Використання гершелівського позначення зазнало незначної зміни в книгах Бенджаміна Пірса з метою усунути головне заперечення проти нього; Пірс писав: "cos^[−1] x," "log^[−1] x."^[c] […] §537. Степені тригонометричних функцій.—Для позначення, скажімо, квадрата sin x, використовувались три основні позначення, а саме (sin x)², sin x², sin² x. Нині переважає позначення sin² x, хоча перше з них найменше піддається хибному тлумаченню. У випадку sin² x можливі два тлумачення: по-перше, sin x ⋅ sin x; по-друге^[d], sin (sin x). Оскільки функції останнього типу зазвичай не трапляються, небезпека неправильного тлумачення тут значно менша, ніж у випадку log² x, де log x ⋅ log x і log (log x) часто з'являються в аналізі. […] Позначення sinⁿ x для (sin x)ⁿ було широко вживаним і нині є загальноприйнятим. […] (xviii+367+1 включно з 1 сторінкою додатків) (Примітка: ISBN і посилання на передрук 2-го видання видавництва Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)

[Herschel_1813-14] а ^б Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. On a Remarkable Application of Cotes's Theorem. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (англ.). London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR 107384. S2CID 118124706.

[Peano_1903-15] Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (фр.). Т. IV. p. 229.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Peirce_1852-16] Peirce, Benjamin (1852). Curves, Functions and Forces (англ.). Т. I (вид. new). Boston, USA. с. 203.

[Pringsheim-Molk_1907-17] Pringsheim, Alfred; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (фр.). Т. I. p. 195. Part I.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Ivanov_2009-19] Ivanov, Oleg A. (1 січня 2009). Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students (англ.). pp. 217–: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4808-1.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Gallier_2011-20] Gallier, Jean (2011). Discrete Mathematics (англ.). p. 118: Springer. ISBN 978-1-4419-8047-2.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Barr-Wells_1990-21] Barr, Michael; Wells, Charles (1998). Category Theory for Computing Science (PDF) (англ.). с. 6. Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 23 серпня 2014. (Примітка. Це оновлена та безкоштовна версія книги, спочатку опублікованої видавництвом Prentice Hall у 1990 році під номером ISBN 978-0-13-120486-7.)

[ISOIEC13568-22] ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23

[Bryant_1986-23] Bryant, R. E. (Серпень 1986). Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis (PDF). IEEE Transactions on Computers (англ.). pp. 677–691. C-35 (8). doi:10.1109/tc.1986.1676819. S2CID 10385726.{{cite journal}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Bergman_2011-24] а ^б ^в ^г Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics (англ.). 79–80, 90–91: CRC Press. ISBN 978-1-4398-5129-6. {{cite book}}: Зовнішнє посилання в |місце= (довідка)Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Tourlakis_2012-25] Tourlakis, George (2012). Theory of Computation (англ.). p. 100: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-31533-0.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[Lipcomb_1997-26] Lipscomb, S. (1997). Symmetric Inverse Semigroups. AMS Mathematical Surveys and Monographs (англ.). p. xv. ISBN 0-8218-0627-0.

[Hilton-Wu_1989-27] Hilton, Peter; Wu, Yel-Chiang (1989). A Course in Modern Algebra (англ.). p. 65: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-50405-4.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)

[28] Saunders Mac Lane - Quotations. Maths History (англ.). Процитовано 13 лютого 2024.

[1]

[2]

[3]

[nb 1]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[nb 2]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]