Дискретне перетворення Фур'є

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ, англ. Discrete Fourier Transform) — це математична процедура, що використовується для визначення гармонічного, або частотного, складу дискретних сигналів. ДПФ є однією з найбільш розповсюджених і потужних процедур цифрової обробки сигналів. ДПФ дозволяє аналізувати, перетворювати і синтезувати сигнали такими способами, які неможливі при неперервній (аналоговій) обробці.

Формули перетворень[ред.ред. код]

Витоком ДПФ є неперервне перетворення Фур'є , яке визначається:

Експоненціальна форма:

Тригонометрична форма:

Позначення:

  •  — -ий компонент ДПФ, тобто ,
  •  — індекс ДПФ в частотній області, ,
  •  — послідовність вхідних відліків, ,
  •  — часовий індекс вхідних відліків, ,
  •  — кількість відліків вхідної послідовності і кількість частотних відліків результату ДПФ.

Якщо представити довільний відлік ДПФ як суму дійсних і уявних частин:

з кутом ,

то амплітуда обчислюється:

Фазовий кут , , обчислюється так:

Потужність відліків , яка називається спектром потужності, являє собою амплітуду, піднесену до квадрату:

Властивості[ред.ред. код]

  1. Симетрія
  2. Лінійність
    Якщо вхідна послідовність має ДПФ , а інша вхідна послідовність має ДПФ , то ДПФ суми цих послідовностей рівна:
  3. Зсув в часі

Приклад програми[ред.ред. код]

Нижче подано приклад функції обчислення ДПФ на мові програмування C#

// Структура комлексних чисел
public struct Complex
{
    public double Re;
    public double Im;
    public Complex(double Re, double Im)
    {
        this.Re = Re;
        this.Im = Im;
    }
}
public double Sqr(double x)
{ 
    return x*x;
}
// x - послідовність вхідних відліків
// X - послідовність вихідних відліків
// AS - спектр амплітуд
// FS - спектр фаз
// PS - спектр потужностей
// N - кількість відліків
public void DFT(double[] x, ref Complex[] X, ref double[] AS, ref double[] FS, ref double[] PS, int N)
{
    Complex S = new Complex();
    Complex[] XC = new Complex[N];
    int k, n;
    for (k = 0; k < N; k++)
    {
         S.Re = 0.0;
         S.Im = 0.0;
         for (n = 0; n < N; n++)
         {
              S.Re += x[n] * Math.Cos(2 * Math.PI * k * n / N);
              S.Im -= x[n] * Math.Sin(2 * Math.PI * k * n / N);
         }
         X[k].Re = S.Re;
         X[k].Im = S.Im;
     }
     for (k = 0; k < N; k++)
     {
          AS[k] = Math.Sqrt(Sqr(X[k].Re) + Sqr(X[k].Im)) / (N / 2);
          PS[k] = X[k].Re * X[k].Re + X[k].Im * X[k].Im;
          if (Math.Abs(X[k].Re) < 1e-5)
          {
               if (X[k].Im > 1e-5)
                   FS[k] = 90;
               if (Math.Abs(X[k].Im) < 1e-5)
                   FS[k] = 0;
               if ((X[k].Im < 0) && (Math.Abs(X[k].Im) > 1e-5))
                   FS[k] = -90;
           }
           else
               FS[k] = Math.Atan2(X[k].Im, X[k].Re) * 180.0 / Math.PI;
      }
}

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Ричард Лайонс Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Москва : Бином, 2006. — 656 с. — ISBN 5-9518-0149-4.
  • Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб : Питер, 2006. — 751 с. — ISBN 5-318-00666-3.

Посилання[ред.ред. код]