Матриця Якобі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення .

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай задано відображення , що має в деякій точці x всі часткові похідні першого порядку. Матриця J, складена з часткових похідних цих функцій в точці x, називається матрицею Якобі цієї системи функцій.

Зв'язані визначення[ред. | ред. код]

  • Якщо m = n, то визначник матриці Якобі називається визначником Якобі (якобіаном) системи функцій .
  • Відображення називають невиродженим, якщо його матриця Якобі має максимальний можливий ранг:

Властивості[ред. | ред. код]

  • Якщо всі неперервно діференцюються в околі , то
  • Хай  — відображення, що диференціюються, ,  — їхні матриці Якобі. Тоді матриця Якобі композиції відображень дорівнює добутку їхніх матриць Якобі (властивість функторіальності):
  • За теоремою Сарда, для гладкого (k-разів диференційовного) відображення, множина точок, на якій матриця Якобі вироджена, відображається у множину нульової міри (міра Лебега).

Приклади[ред. | ред. код]

Приклад 1[ред. | ред. код]

Розглянемо функцію f : ℝ2 → ℝ2, з (x, y) ↦ (f1(x, y), f2(x, y)), задану так

Тоді маємо, що

і

і якобіан f це

а визначник якобіана це

Приклад 2[ред. | ред. код]

Якобіан функції F : ℝ3 → ℝ4 з компонентами

це

Цей приклад показує, що матриця Якобі не обов'язково квадратна.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]