Матриця Якобі
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
Розділи в | |||||
Математичному аналізі | |||||
---|---|---|---|---|---|
|
|||||
Спеціалізовані |
|||||
Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення .
Визначення[ред. | ред. код]
Нехай задано відображення , що має в деякій точці x всі часткові похідні першого порядку. Матриця J, складена з часткових похідних цих функцій в точці x, називається матрицею Якобі цієї системи функцій.
Зв'язані визначення[ред. | ред. код]
- Якщо m = n, то визначник матриці Якобі називається визначником Якобі (якобіаном) системи функцій .
- Відображення називають невиродженим, якщо його матриця Якобі має максимальний можливий ранг:
Властивості[ред. | ред. код]
- Якщо всі неперервно діференцюються в околі , то
- Хай — відображення, що диференціюються, , — їхні матриці Якобі. Тоді матриця Якобі композиції відображень дорівнює добутку їхніх матриць Якобі (властивість функторіальності):
- За теоремою Сарда, для гладкого (k-разів диференційовного) відображення, множина точок, на якій матриця Якобі вироджена, відображається у множину нульової міри (міра Лебега).
Приклади[ред. | ред. код]
Приклад 1[ред. | ред. код]
Розглянемо функцію f : ℝ2 → ℝ2, з (x, y) ↦ (f1(x, y), f2(x, y)), задану так
Тоді маємо, що
і
і якобіан f це
а визначник якобіана це
Приклад 2[ред. | ред. код]
Якобіан функції F : ℝ3 → ℝ4 з компонентами
це
Цей приклад показує, що матриця Якобі не обов'язково квадратна.
Див. також[ред. | ред. код]
Джерела[ред. | ред. код]
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)