Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення
u
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle \mathbf {u} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
Нехай задано відображення
u
:
R
n
→
R
m
,
u
=
(
u
1
,
…
,
u
m
)
,
u
i
=
u
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
i
=
1
,
…
,
m
,
{\displaystyle \mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,}
x всі часткові похідні першого порядку. Матриця J , складена з часткових похідних цих функцій в точці x , називається матрицею Якобі цієї системи функцій.
J
(
x
)
=
(
∂
u
1
∂
x
1
(
x
)
∂
u
1
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
1
∂
x
n
(
x
)
∂
u
2
∂
x
1
(
x
)
∂
u
2
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
2
∂
x
n
(
x
)
⋯
⋯
⋯
⋯
∂
u
m
∂
x
1
(
x
)
∂
u
m
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
m
∂
x
n
(
x
)
)
{\displaystyle J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}}
Якщо m = n , то визначник
|
J
|
{\displaystyle |J|}
визначником Якобі (якобіаном ) системи функцій
u
1
,
…
,
u
n
{\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}
Відображення називають невиродженим, якщо його матриця Якобі має максимальний можливий ранг :
r
g
J
=
min
(
m
,
n
)
{\displaystyle \mathrm {rg} \,J=\min(m,n)}
Якщо всі
u
i
{\displaystyle \mathbf {u} _{i}}
діференцюються в околі
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
u
(
x
)
=
u
(
x
0
)
+
J
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
o
(
|
x
−
x
0
|
)
{\displaystyle \mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+o(|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|)}
Хай
φ
:
R
n
→
R
m
,
ψ
:
R
m
→
R
k
{\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}}
J
φ
{\displaystyle J_{\varphi }}
J
ψ
{\displaystyle \ J_{\psi }}
композиції відображень дорівнює добутку їхніх матриць Якобі (властивість функторіальності ):
J
ψ
∘
φ
=
J
ψ
J
φ
{\displaystyle J_{\psi \circ \varphi }=J_{\psi }J_{\varphi }}
За теоремою Сарда , для гладкого (k-разів диференційовного) відображення, множина точок, на якій матриця Якобі вироджена, відображається у множину нульової міри (міра Лебега ). Розглянемо функцію f : ℝ2 → ℝ2 ,(x , y ) ↦ (f 1 (x , y ), f 2 (x , y )), задану так
f
(
[
x
y
]
)
=
[
f
1
(
x
,
y
)
f
2
(
x
,
y
)
]
=
[
x
2
y
5
x
+
sin
y
]
.
{\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}
Тоді маємо, що
f
1
(
x
,
y
)
=
x
2
y
{\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}
і
f
2
(
x
,
y
)
=
5
x
+
sin
y
{\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}
і якобіан f
J
f
(
x
,
y
)
=
[
∂
f
1
∂
x
∂
f
1
∂
y
∂
f
2
∂
x
∂
f
2
∂
y
]
=
[
2
x
y
x
2
5
cos
y
]
,
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}},}
а визначник якобіана це
det
(
J
f
(
x
,
y
)
)
=
2
x
y
cos
y
−
5
x
2
.
{\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}
Якобіан функції F : ℝ3 → ℝ4
y
1
=
x
1
y
2
=
5
x
3
y
3
=
4
x
2
2
−
2
x
3
y
4
=
x
3
sin
x
1
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}
це
J
F
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
[
∂
y
1
∂
x
1
∂
y
1
∂
x
2
∂
y
1
∂
x
3
∂
y
2
∂
x
1
∂
y
2
∂
x
2
∂
y
2
∂
x
3
∂
y
3
∂
x
1
∂
y
3
∂
x
2
∂
y
3
∂
x
3
∂
y
4
∂
x
1
∂
y
4
∂
x
2
∂
y
4
∂
x
3
]
=
[
1
0
0
0
0
5
0
8
x
2
−
2
x
3
cos
x
1
0
sin
x
1
]
.
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}
Цей приклад показує, що матриця Якобі не обов'язково квадратна.
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bb1762894a41c476366467fb34a3d674c8dee7)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8cdd61024fb8153b850520350a6a90648e454a9)