Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення
u
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle \mathbf {u} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
Нехай задано відображення
u
:
R
n
→
R
m
,
u
=
(
u
1
,
…
,
u
m
)
,
u
i
=
u
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
i
=
1
,
…
,
m
,
{\displaystyle \mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,}
x всі часткові похідні першого порядку. Матриця J , складена з часткових похідних цих функцій в точці x , називається матрицею Якобі цієї системи функцій.
J
(
x
)
=
(
∂
u
1
∂
x
1
(
x
)
∂
u
1
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
1
∂
x
n
(
x
)
∂
u
2
∂
x
1
(
x
)
∂
u
2
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
2
∂
x
n
(
x
)
⋯
⋯
⋯
⋯
∂
u
m
∂
x
1
(
x
)
∂
u
m
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
m
∂
x
n
(
x
)
)
{\displaystyle J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}}
Якщо m = n , то визначник
|
J
|
{\displaystyle |J|}
визначником Якобі (якобіаном ) системи функцій
u
1
,
…
,
u
n
{\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}
Відображення називають невиродженим, якщо його матриця Якобі має максимальний можливий ранг :
r
g
J
=
min
(
m
,
n
)
{\displaystyle \mathrm {rg} \,J=\min(m,n)}
Якщо всі
u
i
{\displaystyle \mathbf {u} _{i}}
діференцюються в околі
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
u
(
x
)
=
u
(
x
0
)
+
J
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
o
(
|
x
−
x
0
|
)
{\displaystyle \mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+o(|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|)}
Хай
φ
:
R
n
→
R
m
,
ψ
:
R
m
→
R
k
{\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}_{m},~\psi \colon {\mathbb {R}}^{m}\to {\mathbb {R}}^{k}}
J
φ
{\displaystyle J_{\varphi }}
J
ψ
{\displaystyle \ J_{\psi }}
композиції відображень дорівнює добутку їхніх матриць Якобі (властивість функторіальності ):
J
ψ
∘
φ
=
J
ψ
J
φ
{\displaystyle J_{\psi \circ \varphi }=J_{\psi }J_{\varphi }}
За теоремою Сарда , для гладкого (k-разів диференційовного) відображення, множина точок, на якій матриця Якобі вироджена, відображається у множину нульової міри (міра Лебега ). 
