Диференційовний многовид

Диференційовний многовид — локально евклідовий простір, наділений диференціальною структурою. Диференціальні многовиди є природною базою для побудови диференціальної геометрії. Там на диференціальних многовидах вводяться додаткові нескінченно малі структури — орієнтація, метрика, зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи дифеоморфізмів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовиду, наділеного лінійною зв'язністю.

Визначення

Нехай X — гаусдорфів топологічний простір. Якщо для кожної точки $x\in X$ знайдеться її окіл U гомеоморфний відкритій множині простору $\mathbb {R} ^{n}$, то X називається локально евклідовим простором, або топологічним многовидом розмірності n. Пара $(U,\phi )\,$, де $\phi \,$ — вказаний гомеоморфізм, називається локальною картою X в точці х. Таким чином, кожній точці відповідає набір n дійсних чисел $(x^{1},\ldots ,x^{n})$, що називаються координатами в карті $(U,\phi )$. Множина карт $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,$ називається n-вимірним $C^{k}$-атласом $(0\leqslant k\leqslant \infty ,a)$ многовиду X, якщо:

• сукупність всіх $U_{\alpha }$ покриває X, $X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$
• для будь-яких $\alpha ,\beta \in A$ таких, що $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$, відображення:

$\phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$

є диференційовним класу $C^{k}$; $\phi \,$ є відображенням, з відмінним від нуля якобіаном і називається перетворенням координат точки х з карти $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\,$ в карту $(U_{\beta },\phi _{\beta })\,.$

Два $C^{k}$-атласи називаються еквівалентними, якщо їх об'єднання знову є $C^{k}$-атласом. Сукупність $C^{k}$-атласів розбивається на класи еквівалентності, які називаються $C^{k}$-структурами, при $1\leqslant k\leqslant \infty$ — диференціальними (або гладкими) структурами, при k = a — аналітичними структурами. Топологічний многовид X, наділений $C^{k}$-структурою називається $C^{k}$-многовидом, або диференційовним многовидом класу $C^{k}$.

Комплексні многовиди

Задачі аналітичної і алгебраїчної геометрії приводять до необхідності розгляду у визначенні диференціальної структури замість простору $\mathbb {R} ^{n}$ загальніших просторів $\mathbb {C} ^{n}$ або навіть $K^{n}\,$, де K — повне недискретне нормоване поле. Так, у випадку $K=\mathbb {C}$ відповідна $C^{k}$-структура, $k\geqslant 1$, неодмінно виявляється аналітичною структурою, вона називається комплексно аналітичною, або просто комплексною, а відповідний диференційовний многовид — комплексним многовидом. При цьому на будь-якому такому многовиді є і природна дійсна аналітична структура.

Сумісні структури

На будь-якому аналітичному многовиді існує узгоджена з нею $C^{\infty }$-структура, і на $C^{k}$-многовиді, $0\leqslant k\leqslant \infty$, — $C^{r}$-структура, якщо $0\leqslant r\leqslant k$. Навпаки, будь-який паракомпактний $C^{r}$-многовид, $r\geqslant 1$, можна наділити аналітичною структурою, сумісною із заданою, причому ця структура (з точністю до ізоморфізму) єдина. Може, проте, трапитися, що $C^{0}$-многовид не можна наділити $C^{1}$-структурою, а якщо це вдається то така структура може бути не єдиною. Наприклад число θ(n) $C^{1}$-неізоморфних $C^{\infty }$-структур на n-вимірній сфері рівно:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
θ(n)	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Відображення

Нехай $f:X\to Y$ — неперервне відображення $C^{r}$-многовидів X, Y; воно називається $C^{k}$-морфізмом (або $C^{k}$-відображенням, $k\leqslant r$, або відображенням класу $C^{k}$) диференційовних многовидів, якщо для будь-якої пари карт $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\,$ на X і $(V_{\beta },\psi _{\beta })\,$ на Y такої, що $f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }$ і відображення:

$\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })$

належить класу $C^{k}$. Бієктивне відображення f таке, що воно і f^-1 є $C^{k}$-відображеннями, називається $C^{k}$-ізоморфізмом (або дифеоморфізмом). В цьому випадку X і Y і їх $C^{r}$-структури називаються $C^{k}$-ізоморфними.

Підмноговиди і вкладення

Підпростір Y n-вимірного $C^{k}$-многовиду X називається $C^{k}$- підмноговидом розмірності m у X, якщо для довільної точки $y\in Y$ існують її окіл $V\subset Y$ і карта $(U,\phi )\,$ $C^{k}$-структури X такі, що $V\subset Y$ і $\phi$ індукує гомеоморфізм V на перетин $\phi (U\cap Y)$ з (замкнутим) підпростором $\mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}$; іншими словами, існує карта з координатами $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ така, що $(U\cap Y)$ визначається співвідношеннями $x^{m+1}=,\ldots ,=x^{n}=0$.

Відображення $f:X\to Y$ називається $C^{k}$-вкладенням якщо f(X) є $C^{k}$-підмноговидом в Y, а $X\to f(X)$ — $C^{k}$-дифеоморфізм. Будь-який n-вимірний $C^{k}$-многовид допускає вкладення в $\mathbb {R} ^{2n+1}$ і навіть в $\mathbb {R} ^{2n}.$ Більш того, множина таких вкладень є всюди щільною у просторі відображень $C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})$ щодо компактно-відкритої топології. Тим самим, розгляд диференційовних многовидів, як підмноговидів евклідового простору дає один із способів вивчення їх теорії, цим шляхом встановлюються, наприклад, вказані вище теореми про аналітичні структури.

Див. також

• Многовид
• Атлас (математика)
• Дифеоморфізм
• Грассманіан
• Інваріантний многовид

Джерела

• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1700+ с.(укр.)
• О.Пришляк Диференціальна геометрія: Курс лекцій. [Архівовано 14 квітня 2010 у Wayback Machine.] — К.: Видавничо-поліграфічний центр Київський університет, 2004. — 68 с.
• Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М. : Наука, 1976. — 176 с.
• Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М. : Мир, 1975. — 220 с.
• де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М. : ИЛ, 1956. — 250 с.
• Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М. : Мир, 1967. — 203 с.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М. : Наука, 1977. — 487 с.
• Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М. : ИЛ, 1960. — 355 с.
• Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М. : Наука, 1971. — 568 с.
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М. : Мир, 1971. — 232 с.
• Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М. : Мир, 1976. — 284 с.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М. : Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит, 1986. — 760 с.