Група (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гру́па — одне із найважливіших понять сучасної алгебри, яке має численні застосування у більшості суміжних дисциплінах. Здебільшого група виникає як множина всіх перетворень (симетрій) деякої структури. Результатом послідовного застосування двох перетворень буде знову деяке перетворення. Поняття абстрактної групи є узагальненням груп симетрій і визначається як множина із операцією множення (композиції), що задовільняє певним аксіомам (асоціативності, існування нейтрального та оберненого елемента)[1]. У застосуваннях математики групи часто виникають як засіб систематично описувати симетрії різного ґатунку або як групи перетворень.

Означення[ред.ред. код]

Групою називається множина G, на якій визначено бінарну операцію , що зазвичай називають множенням і позначають або , і має такі властивості:

  • Асоціативність: для довільних елементів a, b, c групи G виконується рівність
  • Існування нейтрального елемента: існує елемент e такий, що для кожного елемента a групи G виконується
  • Існування оберненого елемента: для кожного елемента a групи існує елемент такий, що .

Операція множення в групі не обов'язково є комутативною.

Таким чином, група є моноїдом, у якому для кожного елемента існує обернений.

Властивості абстрактних груп вивчаються в теорії груп. Провідну роль у геометрії, зокрема в диференціальній геометрії і топології, відіграють дії груп на різноманітних просторах (див. також групи перетворень).

Абелеві групи і адитивні групи[ред.ред. код]

Група називається комутативною або абелевою (на честь норвезьського математика Нільса Генріха Абеля), якщо додатково виконується тотожність

(закон комутативності).

Групову операцію в комутативній групі часто записують як додавання (звичайне додавання дійсних чисел чи векторів є прикладом групової операції). У такому випадку змінюється позначення на . Роль нейтрального елемента відіграє нульовий елемент що задовольняє тотожності:

Роль оберненого елемента відіграє протилежний елемент що задовольняє тотожності:

Приклади груп[ред.ред. код]

  1.  — адитивна група цілих чисел, зі звичайними додаванням , нульовим елементом і протилежним елементом . Так само утворюють адитивні групи всі раціональні, дійсні та комплексні числа. З іншого боку, натуральні числа не утворюють групи, тому що якщо .
  2. Для будь-якого натурального , залишки по модулю утворюють скінчену адитивну групу з елементів, циклічну групу порядку .
  3. , група перестановок -елементної множини. Операція — це композиція перестановок. Ця група — некомутативна при і нерозв'язна при . За теорією Галуа, з цього випливає нерозв'язність загального алгебраїчного рівняння степеня .
  4. Ненульові кватерніони .
  5. , група квадратних матриць з дійсними елементами і ненульовим визначником. Операція — це добуток матриць, нейтральний елемент — одинична матриця. Взагалі, можна розглянути матриці над довільним полем замість . З іншого боку, всі матриці не утворюють групу за множенням, тому що нульова матриця не має оберненої.
  6. , група матриць з дійсними елементами і визначником . Ця група є підгрупою групи з попереднього прикладу.
  7. Групи  — то топологічні групи і групи Лі. Останні дві групи діють на векторному просторі звичайним множенням матриць і векторів.
  8. Група поворотів і їх комбінацій Кубика Рубика.

Групи із додатковою структурою[ред.ред. код]

Якщо група G є топологічним простором, а операції множення і взяття оберненого — неперервні відображення, то G — це топологічна група.

Якщо G має структуру многовиду і групові операції сумісні з цією структурою (є гладкими), тоді G називають групою Лі (раніше — неперервною групою), на честь норвезького математика Софуса Лі, який розпочав їх дослідження.

Історія[ред.ред. код]

Сучасне поняття групи сформувалося з кількох розділів математики. Поштовхом для створення такої теорії був пошук рішень алгебраїчних рівнянь ступеня вище четвертого. У 19 столітті французький математик Еварист Галуа, доопрацював дослідження Паоло Руффіні і Лагранжа й дав критерій розв'язуванності конкретного алгебраїчного рівняння з погляду групи симетрії його розв'язків. Елементи такої групи Галуа відповідають перестановкам коренів. Спираючись на тих же авторів, Оґюстен-Луї Коші дослідив групи перестановок. Вперше поняття скінченної групи запровадив Артур Келі 1854 року.[2][3]

Геометрія — другий розділ, де групи застосовуються систематично, особливо — групи симетрії. Після виникнення нових розділів геометрії, таких як гіперболічна й проективна геометрія, Фелікс Кляйн застосував теорію груп для кращого їх узгодження.[4] [5]Подальший розвиток цих ідей призвів до введення в математику груп Лі 1884 року.[6] [7][8]

Третій розділ математики, що посприяв розвитку теорії груп — теорія чисел. Деякі абелеві групи були неявно застосовані ще в роботі Карла Гаусса «Арифметичні дослідження» (1798). У 1847 році Ернст Едуард Куммер зробив першу спробу довести Велику теорему Ферма за допомогою груп, що описують розкладання на прості числа.[9] 1870 року Леопольд Кронекер узагальнив роботи Куммера, і дав близьке до сучасного визначення скінченної абелевої групи.[10]

Відокремлення теорії груп почалося з роботи Каміля Жордана «Трактат про заміни і алгебраїчні рівняння» (1870). У двадцятому столітті теорія груп почала активно розвиватися. З'явилася піонерська робота Фробеніуса і Бернсайда про представлення скінченних груп, модульна теорія представлень Річарда Браура і запис Шура.[11]

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Корн Г., Корн Т. (1984). 12.2-1. Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 
  2. Arthur Cayley(англ.)
  3. Arthur Cayley and the First Paper on Group Theory(англ.)
  4. Hans Wussing (2007). The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory видання=II (англ.). Університет Вірджинії: Dover Publications. 
  5. Фелікс Кляйн
  6. What is a Lie group?(англ.)
  7. GEOMETRIC STRUCTURES, SYMMETRY AND ELEMENTS OF LIE GROUPS(англ.)
  8. СИМЕТРІЯ У ФІЗИЦІ.ВСТУП ДО ТЕОРІЇ СИМЕТРІЇ
  9. KUMMER, REGULAR PRIMES, AND FERMAT’S LAST THEOREM
  10. The evolution of Group theory: a brief survey
  11. Charles W. Curtis (1999). Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer мова=англ. Мічиганський університет: American Mathematical Society. 

Література[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.