Еліптична геометрія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Еліптична геометрія (інша назва - геометрія Рімана) — одна з неевклідових геометрій постійної кривини (інші — це геометрія Лобачевського і сферична геометрія). Якщо геометрія Евкліда реалізується у просторі з нульовою гаусовою кривиною, Лобачевського — з від'ємною, то геометрія Рімана реалізується у просторі з постійною додатною кривиною (у двовимірному випадку — на проективної площині і локально на сфері).

В геометрії Рімана пряма визначається двома точками, площина — трьома, дві площини перетинаються по прямій тощо, але в геометрії Рімана немає паралельних прямих. В геометрії Рімана, як і в сферичній геометрії, справедливе твердження: сума кутів трикутника більша від двох прямих, має місце формула де — сума кутів трикутника, — радіус сфери, на якій реалізована геометрія.

Двовимірна геометрія Рімана схожа на сферичну геометрію, але відрізняється тим, що будь-які дві «прямі» мають не дві, як у сферичній, а тільки одну точку перетину. При ототожненні протилежних точок сфери виходить проективна площина, геометрія якої задовольняє аксіомам геометрії Рімана.

Розглянемо сферу з центром в точці у тривимірному просторі . Кожна точка разом з центром сфери визначає деяку пряму , тобто деяку точку проективної площини . Зіставлення визначає відображення , великі кола на (прямі в сферичній геометрії) переходять у прямі на проективній площині , при цьому в одну точку переходять рівно дві точки сфери: разом з точкою і діаметрально протилежна їй точка (див. рисунок). Евклідові рухи простору , що переводять сферу у себе, задають деякі визначені перетворення проективної площини , які є рухами геометрії Рімана. В геометрії Рімана будь-які прямі перетинаються, оскільки це правильно для проективної площини, і таким чином, у ній немає паралельних прямих.

Одне з відмінностей геометрії Рімана від евклідової геометрії до геометрії Лобачевського полягає в тому, що в ній немає природного поняття «точка C лежить між точками A і B» (в сферичній геометрії це поняття також відсутнє). Дійсно, на пряму проективної площини відображається велике коло на сфері , причому дві діаметрально протилежні точки сфери і переходять в одну точку . Аналогічно, точки переходять в одну точку і точки переходять в одну точку . Таким чином, з рівною підставою можна вважати, що точка лежить між і і що вона не лежить між ними.

Література[ред. | ред. код]

  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
  • Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
  • Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
  • Берже М. Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
  • Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
  • Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание.
  • Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.