Еліптична геометрія

Порівняння еліптичної, евклідової та гіперболічної геометрій

Еліптична геометрія (інша назва — геометрія Рімана) — одна з неевклідових геометрій постійної кривини (інші — це гіперболічна і сферична геометрії). Якщо геометрія Евкліда реалізується у просторі з нульовою гауссовою кривиною, гіперболічна — з від'ємною, то еліптична геометрія реалізується у просторі з постійною додатною кривиною (у двовимірному випадку — на проєктивній площині і локально на сфері).

У еліптичній геометрії пряма визначається двома точками, площина — трьома, дві площини перетинаються по прямій тощо, але в еліптичній геометрії немає паралельних прямих.

У еліптичній геометрії, як і в сферичній геометрії, справедливе твердження: сума кутів трикутника більша від двох прямих, має місце формула $\Sigma =\pi +{S}/{R^{2}},$ де $\Sigma$ — сума кутів трикутника, $R$ — радіус сфери, на якій реалізована геометрія.

Двовимірна еліптична геометрія схожа на сферичну геометрію, але відрізняється тим, що будь-які дві «прямі» мають не дві, як у сферичній, а тільки одну точку перетину. При ототожненні протилежних точок сфери виходить проєктивна площина, геометрія якої задовольняє аксіоми еліптичної геометрії.

Розглянемо сферу $S$ з центром в точці $O$ у тривимірному просторі $E$. Кожна точка $A\in S$ разом з центром сфери $O$ визначає деяку пряму $l\subset E$, тобто деяку точку $A_{*}$ проєктивної площини $\Pi$. Зіставлення $A\to A_{*}$ визначає відображення $S\to \Pi$, великі кола на $S$ (прямі в сферичній геометрії) переходять у прямі на проєктивній площині $\Pi$, при цьому в одну точку $A_{*}\in \Pi$ переходять рівно дві точки сфери: разом з точкою $A\in S$ і діаметрально протилежна їй точка $A'\in S$ (див. рисунок). Евклідові рухи простору $E$, що переводять сферу $S$ у себе, задають деякі визначені перетворення проєктивної площини $\Pi$, які є рухами еліптичної геометрії.

У еліптичній геометрії будь-які прямі перетинаються, оскільки це правильно для проєктивної площини, і отже, в ній немає паралельних прямих.

Одне з відмінностей еліптичної геометрії від евклідової до гіперболічної геометрії полягає в тому, що в ній немає природного поняття «точка C лежить між точками A і B» (в сферичній геометрії це поняття також відсутнє). Дійсно, на пряму проєктивної площини $\Pi$ відображається велике коло на сфері $S$, причому дві діаметрально протилежні точки сфери $A$ і $A'$ переходять в одну точку $A_{*}\in \Pi$. Аналогічно, точки $B,B'$ переходять в одну точку $B_{*}\in \Pi$ і точки $C,C'$ переходять в одну точку $C_{*}\in \Pi$. Таким чином, з рівною підставою можна вважати, що точка $C_{*}$ лежить між $A_{*}$ і $B_{*}$ і що вона не лежить між ними.

Література

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
• Берже М. Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
• Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — будь-яке видання.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.