Ерлангенська програма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Фелікс Клейн

Ерлангенська програма - виступ 23-річного німецького математика Фелікса Клейна в Ерлангенскому університеті (жовтень 1872 року), в якому він запропонував загальний алгебраїчний підхід до різних геометричних теорій і намітив перспективний шлях розвитку. Доповідь було пов'язане з процедурою затвердження Клейна на посаді професора і була опублікована у тому ж році. Перший російський переклад з'явився в 1895 році.

В оригіналі доповідь Клейна називалася «Порівняльний огляд новітніх геометричних досліджень» (нім. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen) [1], але в історію науки вона увійшла під короткою назвою «Ерлангенська програма». Вплив цієї програми на подальший розвиток геометрії був надзвичайно великий. На новому рівні повторилося відкриття Декарта: алгебризація геометрії дозволила отримати глибокі результати, для старих інструментів зовсім недосяжні.

Короткий зміст[ред.ред. код]

На середину XIX століття геометрія розділилася на безліч погано узгоджених розділів: евклідову, сферичну, гіперболічну, проективну, афінну, риманову, багатовимірну, комплексну і т. д. На рубежі століть, вже після доповіді Клейна, до них додалися ще псевдоевклидова геометрія і топологія.

Клейну належить ідея алгебричної класифікації різних галузей геометрії згідно з тими класами перетворень, які для цієї геометрії несуттєві. Більш точно висловлюючись, один розділ геометрії відрізняється від іншого тим, що їм відповідають різні групи перетворень простору, а об'єктами вивчення виступають інваріанти таких перетворень. [2]

Наприклад, класична евклідова геометрія вивчає властивості фігур і тіл, що зберігаються при рухах без деформації; їй відповідає група, яка містить обертання, перенесення і їх поєднання. Проективна геометрія може вивчати конічні перетини, але не має справи з колами або кутами, тому що кола та кути не зберігаються при проективних перетвореннях. Топологія досліджує інваріанти довільних неперервних перетворень (до речі, Клейн відзначив це ще до того, як народилася топологія). Вивчаючи алгебраїчні властивості груп перетворень, ми можемо відкрити нові глибокі властивості відповідної геометрії, а також простіше довести старі. Підхід Клейна уніфікував різні геометрії та його методи, прояснив їх відмінності.

Приклад простого докази того, що медіани будь-якого трикутника перетинаються в одній точці. Медіана є афінних інваріант; якщо в рівносторонньому трикутнику медіани перетинаються в одній точці, то і в будь-якому іншому це буде вірно, тому що будь-який трикутник можна афінним перетворенням перевести в рівносторонній і назад.

Слід зазначити, що після першої алгебризации геометрії Декартом, тобто в аналітичній геометрії, малося одна незручність: часто доводилося окремо доводити геометричний характер результатів, тобто їх незалежність від системи координат. Додатковою перевагою підходу Клейна було те, що отримані інваріанти по самому змістом свого визначення від системи координат не залежать.

Література[ред.ред. код]

  • Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований (<Эрлангенская программа>). В книге: Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956, стр. 399-434.
  • Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., 2-е изд., т. 2, М. - Л., 1934.
  • Визгин В. П. Эрлангенская программа и физика. М.: Наука, 1975. 111 с.
  • Прасолов В. В., Тихомиров В. М. Геометрия. М.: МЦНМО, 1997, 352 с.

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Ерлангенська програма німецькою..
  2. Основи теорії груп до цього часу вже були створені Еварістом Галуа і Каміллом Жорданом.