Обернена функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.

Нехай f: XY та g: YX деякі функції (відображення).

Якщо композиція функцій f o g = EY, де E: YY - тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.

Якщо справедливо і f o g = EYі g o f = EX, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f-1. Тобто f-1(f(x))=f(f-1(x))=x.

Не слід плутати позначку f-1 з позначенням степеня.

Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:

Определение[ред.ред. код]

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

  • для всех
  • для всех

Существование[ред.ред. код]

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .

Примеры[ред.ред. код]

  • Если , где то
  • Если , где фиксированные постоянные и , то
  • Если , то

Свойства[ред.ред. код]

  • Областью определения является множество , а областью значений множество .
  • По построению имеем:

или

,
,

или короче

,
,

где означает композицию функций, а  — тождественные отображения на и соответственно.

  • Функция является обратной к :
.
  • Пусть  — биекция. Пусть её обратная функция. Тогда графики функций и симметричны относительно прямой .

Разложение в степенной ряд[ред.ред. код]

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

где коэффициенты задаются рекурсивной формулой:

См. также[ред.ред. код]

Категория:Общие понятия о функциях

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]