Обернена функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.

Функція і обернена їй функція . Якщо , то

Нехай f: XY та g: YX деякі функції (відображення).

Визначення[ред.ред. код]

Функція називається оберненою до функції , якщо виконані наступні рівності:

  • для всіх
  • для всіх

Існування[ред.ред. код]

Щоб знайти обернену функцію, потрібно розв'язати рівняння щодо . Якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до не існує. Таким чином, функція обернена на проміжку тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.

Для неперервної функції виразити із рівняння можливо тільки в тому випадку, коли функція строго монотонна (див. теорема про неявну функцію). Тим не менш, неперервну функцію завжди можна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад, є оберненою функцією до на , хоча на проміжку обернена функція інша: .

Якщо композиція функцій f o g = EY, де E: YY - тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.

Якщо справедливо і f o g = EYі g o f = EX, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f-1. Тобто f-1(f(x))=f(f-1(x))=x.

Приклади[ред.ред. код]

  • Якщо , де то
  • Якщо , де фіксовані постійні і , то
  • Якщо , то

Не слід плутати позначку f-1 з позначенням степеня.

Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:

Властивості[ред.ред. код]

  • Областю визначення є множина , а областю значень множина .
  • При побудові маємо:

або

,
,

або коротше

,
,

де означає композицію функцій, а  — Тотожні відображення на і .

  • Функція є оберненою до :
.
  • Нехай  — бієкція. Нехай її обернена функція. Тоді графіки функцій і симетричні відносно прямої .

Розкладання в степеневий ряд[ред.ред. код]

Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степеневого ряду:

де коефіцієнти задаються рекурсивною формулою:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]