Користувач:SkipperGlume/Чернетка

Ілюстрація народження адронного струменя із початкової пари кварк-антикварк

Конфайнмент (утримання) — явище квантової хромодинаміки, яке робить неможливим існування у вільному стані кварків із кольоровим зарядом при нормальних умовах нижче температури Хагедорна (~10^12 K). Кварки та глюони завжди спостерігаються об'єднаними в групи, що утворюють так звані «безбарвні» або «білі» частинки адрони. Наприклад, баріони, такі як протон і нейтрон, складаються з трьох кварків різних кольорів: червоного, зеленого й блакитного. Інший тип адронів, мезони, складаються з кварка та антикварка з відповідним антикольором, наприклад, зеленого й антизеленого, що вкупі теж утворюють «безбарвну» частинку. Іншими прикладами є пентакварки та гіпотетичні глюболи, що складаються виключно з кольорово заряждених глюонів.

На даний момент ще не існує аналітичного доведення цього явища в рамках квантової хромодинамикі як неабелевої калібровочної теорії. Загальне уявлення полягає в тому, що, оскільки глюони, які переносять взаємодію, також заряджені, при збільшенні відстані між кварками утворюється так звана сильновзаємодіюча глюонна трубка або струна. Як наслідок, пара взаємодіючих кварків буде зв’язана на будь-яких відстаннях, допоки енергії цієї струни не буде достатньо для утворення кварк-антикваркової пари

Якщо внаслідок зіткнення високоенергетичних частинок у прискорювачах кварки починають розлітатися, то енергетично вигідним стає такий процес, коли з вакууму народжуються пари кварків-антикварків, які об'єднуються з початковими кварками та утворюють нові адрони. При достатній енергії цей процес може продовжуватися далі, й таким чином виникають адронні струмені. Замість окремих кварків детектори фиксують так звані джети - потоки групованих мезонів та баріонів. Цей процес носить назву адронізації.

Ренормгруповий потік константи зв'язку

Рівняння ренормалізаційної групи описує ефективну силу взаємодії (константу зв'язку) на різних прострових масштабах, або, що еквівалентно, імпульсах частинок. У КХД у першому порядку теорії збурень розв'язок має вигляд

$\alpha _{s}(Q^{2})={\frac {2\pi }{\left(11-{\frac {2}{3}}n_{f}\right)\ln {\frac {Q}{\Lambda _{\text{QCD}}}}}}$

де $\alpha _{s}$ є власне константою зв'язку сильних взаємодії, $Q$ - типовий масштаб енергії при взаємодії (наприклад, енергії кварків при розсіянні), $n_{f}$ - кількість наближенно безмасових кварків при цій енергії та $\Lambda _{\text{QCD}}\approx 200\,{\text{MeV}}$ - масштаб конфайменту у КХД.

Цей вираз одразу демонструє дві важливі особлівості КХД. По-перше, це асимптотична свобода, тобто малість взаємодії при великих $Q\gg \Lambda _{\text{QCD}}$. По-друге, при $Q\approx \Lambda _{\text{QCD}}$ сила взаємодії необмежено росте. Хоча це рівняння некоректно використовувати при великих значеннях $\alpha _{s}$ (оскільки це лише перший порядок теорії збурень), воно дає якісний опис чому відбувається конфайнмент. Питання як відбувається конфайнмент наразі є невирішенною проблемою сучасної фізики.

Траекторії Редже та модель обертання палиці

Траекторії Редже для адронів

Спектр частинок у КХД має особливість: траекторії Редже адронів досить добре апроксимуються лінійними залежностями спіну від квадрату маси.

Таку залежність можна приблизно описати, розглянувши модель мезона, що являє собою пряму палицю з взаємодіючих глюонів довжини L=2R та лінійною масою σ. Розглянувши обертання цієї палиці та вважаючи, що кінці рухаються швидкостю світла, масу та кутовий момент можно знайти наступним чином:

$m=2\int \limits _{0}^{R}{\frac {\sigma }{\sqrt {1-v^{2}(r)}}}\,dr=\pi \sigma R$

$J=2\int \limits _{0}^{R}{\frac {\sigma rv(r)}{\sqrt {1-v^{2}(r)}}}\,dr={\frac {2}{R}}\int \limits _{0}^{R}{\frac {\sigma r^{2}}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}}\,dr={\frac {\pi \sigma R^{2}}{2}}$

Якщо порівняти ці два вирази знаходимо, що $J={\frac {m^{2}}{2\pi \sigma }}=\alpha m^{2}$, де $\alpha$ є нахилом Редже. Експериментально отримане значення лінійної маси (натягу стуни): $\sigma \approx 0.9\,{\text{GeV}}\,{\text{fm}}^{-1}$.

Звичайно, така модель не є ідеальною, оскільки траекторії Редже не проходять через початок координат і мають різні нахили. Тим не менше, саме ця особливість була ключовою для гіпотези лінійного потенціалу взаємодії між кварками.

Спроба якісно уявити явище конфайнменту

У квантовій хромодинаміці (або в більш загальному випадку квантових калібрувальних теорій), якщо відбувається зв'язок, тобто кольоровий конфайнмент, можливе утворення струноподібних степенів свободи, які називаються струнами QCD або трубо-потоками QCD. Наразі не існує загальноприйнятого опису, яким чином струноподібні об'єкти з'являються з фундаментальної теорії взаємодій кварків та глюонів. Одним з можливих способів є утворення кольорово заряджених тунельних токів. Можна уявити, що електрична складова кольрово зарядженого поле проходить між статичними кварком та антикварком і, через певні причини, має вигляд циліндру, переріз якого не залежить від відстані L між кварком та антикварком. В цьому випадку, енергія глюонного поля росте зі збільшенням відстані: $E=\sigma L$, де $\sigma =\int \,dx_{\perp }^{2}{\frac {E_{k}^{a}(x)E_{k}^{a}(x)}{2}}$, а поле $E_{k}^{a}(x)=F_{0k}^{a}(x)$, інтеграл береться по перерізу тунельного току. Недолік цієї моделі полягає в тому, що вона не здатна описати розрив струни. В реальній КХД ми не спостерігаємо лінійного нескінченого зростання енергії взаємодії. На дуже малих відстанях асимптотична свобода домінує, потенціал має вигляд Колумба; на середніх відстанях утворюється тунельний потік поля, потенціал лінійний; на великих відстанях енергетично вигідніше утворити кварк та антикварк пару масами $m_{q}$, і зламати тунельний потік поля - кольорове поле статичних кварків екранується динамічними полями.

Петля Вільсона та кварковий потенціал

Якісно новий підход у розумінні сильних взаємодій можна отримати, розглядаючи систему на $d$-вимірній ґратці. Подібний аналіз є загальним, тобто описує не лише сильні взаємодії, але й довільну калібрувальну теорію. Калібрувальні поля задаются дискретно своїми значеннями $A_{\mu }(x)$ на лінках (зв'язках) між точками $x$ та $x+a{\hat {\mu }}$ ($a$ - стала ґратки, $\mu ={\overline {0,d-1}}$ - напрямок від точки). Для опису динаміки цих полів Вільсон запропонував використовувати в якості ступенів вільності величину

$U_{\mu }(x)=\exp igaA_{\mu }(x)=\exp \,igaA_{\mu }^{k}(x)t_{k}$

замість безпосередньо польових змінних. Перевага цього підходу полягає в тому, що за допомогою $U_{\mu }(x)$ можно сконструювати дію системи та досліджувати калібрувально-інваріантні спостережувані величини. Дія набуває вигляд

$S=-{\frac {1}{g^{2}}}\sum _{\underset {x}{\mu <\nu }}{\text{Tr}}\,\left[U_{\mu }(x)U_{\nu }(x+a{\hat {\mu }})U_{\mu }^{*}(x+a{\hat {\nu }})U_{\nu }^{*}(x)+{\text{h.c.}}\right]$

Ця дія є корректною, оскільки дійсно у неперервному ліміті $a\rightarrow 0$ переходить у

$S{\overset {a\rightarrow 0}{\longrightarrow }}-{\frac {1}{2}}\int d^{d-1}x\,{\text{Tr}}\,F^{\mu \nu }F_{\mu \nu },\qquad F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig[A_{\mu },A_{\nu }]$

Кожен доданок у сумі для дії є послідовним перемноженням чотирьох $U$ на квадраті (плакетці) зі сторонами $\mu$ та $\nu$ """Картинку надо""". Ця комбінація є калібрувально інваріантною, що можно побачити з наступного правила перетворення:

$U_{\mu }(x)\rightarrow G(x)U_{\mu }(x)G(x+a\mu )$

яке у неперервному ліміті набуває правильний вигляд

$A_{\mu }(x)\rightarrow G(x)A_{\mu }(x)G^{\dagger }(x)-{\frac {i}{g}}G(x)\partial _{\mu }G^{\dagger }(x)$

Петлею Вільсона називається калібрувально інваріантна величина, що є узагальненням виразу $U_{\mu }(x)U_{\nu }(x+a\mu )U_{\mu }^{*}(x+a\nu )U_{\nu }^{*}(x)$ на довільному замкненому контурі $C$:

$W_{C}(\{A_{\mu }\})={\text{Tr}}\,\prod _{C}U_{\mu }(x)$

Фізичний зміст цієї величини є найбільш прозорим саме в описі за допомогою ґратці, тим не менше $W_{C}$ можна одразу визначити й у неперервнії теорії поля:

$W_{C}(\{A_{\mu }\})={\text{Tr}}\,{\mathcal {P}}\exp \left(ig\oint _{C}dx^{\mu }A_{\mu }(s)\right)$

де контур $C=\{x_{\mu }(s)\}$ задається параметром $s$, а символ упорядкування ${\mathcal {P}}$ ставить множники з більшими значеннями $s$ зліва від множників з меншими.

Мезонний потенціал

Щоб якісно зрозуміти фізичний зміст петлі Вільсона, роздивимось теорію з массивними нерухомими скалярними частинками $\phi$, що взаємодіють з калібрувальними полями на ґратці. Дія:

$S=\sum _{x}m^{2}\phi ^{\dagger }(x)\phi (x)+\sum _{x,\mu }{\frac {\phi ^{\dagger }(x)}{a^{2}}}{\big (}\phi (x)-U_{\mu }(x)\phi (x+a{\hat {\mu }}){\big )}$

Оператор

$Q(R,t)=\phi ^{\dagger }(0,t)U_{1}(a{\hat {1}},t)U_{1}(2a{\hat {1}},t)\dots U_{1}((R-a){\hat {1}},t)\phi (R{\hat {1}},t)$

є калібрувально інваріантним виразом, що народжує частинку у точці $x=0$ та античастинку у $x=R{\hat {1}}$. З функціонального інтегралу можно показати, що для фіксованої конфігурації калібрувальних полів (інтегруючи лише $\phi$):

$\langle Q^{\dagger }(R,T)Q(0,0)\rangle _{\phi }\approx {\text{Tr}}\,{\bigg [}\langle \phi (R{\hat {1}},0)\phi ^{\dagger }(R{\hat {1}},T)\rangle \,\,\,U^{\dagger }{\big (}(R-a){\hat {1}},T{\big )}\dots U{\big (}a{\hat {1}},T{\big )}\,\,\,\langle \phi (0,T)\phi ^{\dagger }(0,0)\rangle \,\,\,U^{\dagger }{\big (}(R-a){\hat {1}},0{\big )}\dots U{\big (}a{\hat {1}},0{\big )}{\bigg ]}\approx O(m^{-4(T+1)}){\text{Tr}}\,[UU\dots U]_{C}$

де контур $C$ є межею прямокутника $[0,R{\hat {1}}]\times [0,T{\hat {0}}]$.

Таким чином петлю Вільсона можна інтерпретувати як амплітуду нарождення пари частинки та античастинки та їх подальшої анігіляції. Зокрема, її можна безпосередньо пов'язати до кварк-антикваркової взаємодії у мезоні.

З операторного формалізму у евклідовому часу ми маємо

$\langle Q^{\dagger }(T)Q(0)\rangle {\overset {T\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}{\frac {\sum _{nm}\langle 0|Q^{\dagger }|n\rangle \langle n|e^{-HT}|m\rangle \langle m|Q|0\rangle }{\langle 0|e^{-HT}|0\rangle }}=\sum \limits _{n}|c_{n}|^{2}e^{-(E_{n}-E_{0})T}$

де $H$ - гамільтоніан калібрувальних полів при фіксованих джерелах у вигляді двох частинок.

У границі $T\rightarrow \infty$ домінуючий вклад походить від першого збужденного рівня з енергією зв'язку $E_{1}-E_{0}\equiv V(R)$. Отже, петля Вільсона, розрахована в евклідовому часі по контуру у вигляді прямокутника $R\times T$ визначає енергію калібрувальної струни, що пов'язує дві частинки:

$\langle W(R,T)\rangle \sim e^{-V(R)\cdot T}$

Еквівалентно можно записати наступні співвідношення:

$V(R)=-\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {\langle \log W(R,T)\rangle }{T}}=-\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{a}}\log {\frac {\langle W(R,T+a)\rangle }{\langle W(R,T)\rangle }},\qquad \sigma (R)\equiv {\frac {V(R)}{R}}=-\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {\langle \log W(R,T)\rangle }{R\cdot T}}$

Баріонний потенціал

Аналогічно можна роздивитись взаємодію між трьома кварками у баріонні, пов'язавши її до петлі Вильсона спеціальної форми (так звана книжкова спостережувана). Однак, трьохчастинковий потенціал, або форма глюонної конфігурації, що пов'язує кварки, наразі невідома. Розглядають два варіанти: $\Delta$-закон, в якому глюоонні струни натягнені між кожною парою кварків, та $Y$-закон, в якому струни з'єднуються в точці Ферма-Торічеллі трикутника.

$V_{\Delta }=\sigma _{qqq}\Delta ,\qquad \Delta ={\frac {1}{2}}\sum _{(ij)}|x_{i}-x_{j}|$

$V_{Y}=\sigma _{qqq}Y,\qquad Y=\min _{x_{0}}\sum _{i=1}^{3}|x_{i}-x_{0}|$

Порядок  конфайнмента

Згідно з теоремою Елітцура, калібрувальну теорію неможливо спонтанно порушити, тому ми не можемо ввести параметр, аналогічний параметру порядку в моделі Ізінга або теорії Ландау-Гінзбурга. Тим не менше, можна відокремити три можливі фази, що відрізняються асимптотичною поведінкою петлі Вільсона.

Масивна фаза

Міжчастинковий потенціал є потенциалом Юкави:

$V(R)=-g^{2}{\frac {e^{-mR}}{R}}+2V_{0}$

де $V_{0}$ є власною енергією взаємодіючих частинок. Значення петлі Вільсона візначається периметром контуру $P(C)$:

$W_{C}\sim \exp[-V_{0}P(C)]$

Безмасова фаза

Міжчастинковий потенціал є звичайним Кулонівським потенціалом:

$V(R)=-{\frac {g^{2}(R)}{R}}+2V_{0}$

при цьому $g$ залежить від $R$ не сильніше, ніж логаріфмічно. Петля Вільсона дорівнює

$W_{C}\sim \exp[-2V_{0}R+g^{2}T/R]$

та знову зводиться до залежності від періметра при $R\gg V_{0}^{-1}$.

Фаза конфайменту (фаза магнітного безпорядку)

Потенціал асимптотично лінійний:

$V(R)=\sigma R+2V_{0}$

Суттєвою відміною цієї фази від перших двох є залежність від площі петлі Вільсона $A(C)$:

$W_{C}\sim \exp[-\sigma A(C)-V_{0}P(C)]$

Моделі, що проявляют/зоображують конфайнмент

Окрім КХД у чотирьох просторово-часових вимірах, двовимірна модель Швінгера також має конфайнмент. Компактні абелеві калібрувальні теорії також проявляють конфайнмент у 2 та 3 просторово-часових вимірах. Нещодавно був знайден конфайнмент в елементарних збудженнях магнітних систем, званих спінонами.

Моделі повністю екранованих кварків

Окрім ідеї кваркового конфайнменту, існує ймовірність, що кольоровий заряд кварків буде повністю екранований глюонним кольором, що оточує кварк. Були знайдені точні рішення SU(3) класичної теорії Ян-Міллса, які забезпечують повний скринінг (за глюоновими полями) кольорового заряду кварку. Однак ці класичні рішення не враховують нетривіальних властивостей вакууму КХД, тому значення таких глюонічних скринінг-розвязків для відокремленого кварка незрозуміле.

КХД струна

У квантовій хромодинаміці (або в більш загальному випадку, у квантових калібрувальних теорій), якщо відбувається зв'язок, тобто кольоровий конфайнмент, можливо утворити струноподібні степені свободи, які називаються струнами QCD або трубо-потоками QCD. Ці струнні збудження відповідають за обмеження кольорових зарядів, оскільки вони завжди прикріплені до щонайменше однієї струни, яка проявляє напругу. Їх існування можна передбачити за допомогою моделей подвійної спінової сітки/ спінової піни (ця подвійність точна на решітці\ця подвійність зрозуміла). З гарним наближенням ці струну феноменологічно описуються дією Полякова, роблячи їх некритичними струнами.

Джерела

• Индурайн Ф. Квантовая хромодинамика. Введение в теорию кварков и глюонов. — М. : Мир, 1986. — 288 с.