Теорія Редже

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія Редже (метод полюсів Редже, метод комплексних кутових моментів) — метод описання та дослідження розсіяння елементарних частинок в квантовій механіці та квантовій теорії поля, що ґрунтується на формальному аналітичному продовженні парціальних амплітуд з області фізичних значень моменту імпульсу в область комплексних значень . Метод запровадив італійський фізик Туліо Редже при вивченні аналітичних властивостей квантовомеханічної амплітуди розсіяння.

Суть теорії Редже[ред.ред. код]

Теорія Редже виникла при дослідженні потенціального розсіювання в квантовій механіці. Основна ідея полягала в тому, що квантові числа кутового моменту в загальному випадку можуть набувати комплексних значень, тоді парціальну амплітуду інтерполюють до функції , яка для цілих значень збігається з . Для певного типу потенціалів (наприклад, юкавського потенціалу) сингулярності виявляються[1] простими полюсами (полюси Редже), що змінюють місце знаходження в комплексній площині кутового моменту зі зміною енергії. Їхнє розташування визначається зі співвідношення де  — функція енергії, що називається траєкторією Редже (може бути представлена як функція кінематичних змінних Мандельштама, ). Кожній сім'ї резонансів, а також набору зв'язаних станів відповідає одна траєкторія Редже. Ідея Редже була успішно розвинута в рамках фізики високих енергій[2].

Зокрема, при певних не дуже великих , де дійсна, цілочисельні значення відповідають стабільним зв'язаним станам. При великих , що перевищують границю суцільного спектру (кінетична енергія частинки додатня), функція стає комплексною: . Тоді дійсна частина продовжує визначати положення тепер вже резонансного рівня, а уявна частина пропорційна повній ширині рівня, тобто визначає час життя резонансу.

У теорії -матриці немає рівняння Шредінгера, тож не можна отримати амплітуду розсіяння таким шляхом, як у квантовій механіці, звідки безпосередньо можна було б вивчати її аналітичні властивості. Отже, існування полюсів Редже насправді є припущенням, але це припущення дозволяє розв'язувати деякі проблеми теорії і, що найголовніше, підтверджується великою кількістю феноменологічних спостережень[3].

Якщо застосовувати ідею Редже до теорії релятивістської -матриці, можна показати, зробивши ряд припущень, що релятивістську парціальну амплітуду можна аналітично продовжити до комплексних значень і при тому єдиним способом. Отримана фунцкія має прості полюси (першопочаткове припущення) при Кожен полюс дає внесок в амплітуду розсіяння, який асимптотично ( при фіксованому ) поводиться як

Тобто сингулярність, що має найбільшу дійсну частину (основна сингулярність) в -каналі визначає асимптотичне поводження амплітуди розсіяння в -каналі. Насправді, в теорії Редже, що застосовується в теорії -матриці, вигляд сингулярностей складніший, аніж прості полюси (наприклад, наявність таких сингулярностей, як розрізи, які значно ускладнюють теорію Редже).

Кросинг[ред.ред. код]

Основним принципом кросингу є те, що з однієї і тієї ж функції аналітично продовженої в три фізичні області значень кінематичних змінних отримується амплітуда розсіяння для відповідної області, де пов'язані як

Таке твердження виявляється правильним для діаграм Фейнмана, де, наприклад, для реакцій і для опису використовується одна і та ж діаграма Фейнмана. Кросингова симетрія є наслідком аналітичних властивостей амплітуди. Припустімо, що є процес

амплітуду можна записати у вигляді , лишаючи  для симетрії, але пам'ятаючи, що вона не є незалежною змінною. Фізичною областю для вищенаписаного процесу є область, де . В загальному випадку основна частина фізичної області по і має обмеження . Амплітуда може бути аналітично проджена в область і , в такій області матимемо амплітуду для процесу в -каналі
де і античастинки відповідно для і . Таким чином, для амплітуд існуватиме рівність

Полюси Редже в квантовій механіці[ред.ред. код]

У квантовій механіці теорія Редже застосовна тільки до певного класу потенціалів, до них є дві умови:

Тоді парціальна амплітуда, продовжена в комплексну площину кутового моменту, запишеться так

де так звана функція Йоста[1]. Важливий клас потенціалів, що мають вищезазначені властивості записується у вигляді узагальненого потенціалу Юкави

Для цей потенціал збігається з потенціалом Юкави в його початковій формі, яку використовув Юкава
Амплітуда розсіяння в борнівському наближенні, що відповідає цьому потенціалу, має вигляд , в якій і яка подібна на амплітуду обміну скалярним мезоном. Таким чином, взаємодія при потенціалах юкавського типу має схожість із взаємодією в теорії -матриці.

Функції Йоста мають такі аналітичні властивості[4] : перше — для сингулярностями як функції є скінченна кількість простих полюсів, друге — амплітуда прямує експотенціально до нуля при , коли .

Таким чином, задовольняються всі умови щодо аналітичного продовження функції , яку до того ж може бути продовжено єдиним способом. Далі можна отримати представлення Ватсона-Зомерфельда для і фіксованої енергії , амплітуда розсіяння поводиться як

де  — це домінантна траєкторія Редже,  — лишок полюсу Редже, Зрозуміло, що вираз не має сенсу, а вивід має тільки демонстративне значення, але в релятивістській теорії ця умова може бути записана як , а вона вже має фізичний зміст.

За наявності обмінної взаємодії у виразі для амплітуди з'являється множник . У цьому випадку умова можливості аналітичного продовження не задовольняється, оскільки при цей множник вносить розбіжність в амплітуду. В результаті теорема Карлсона не справджується, цю проблему можна зняти, якщо ввести ще одне додаткове квантове число — сигнатуру.

У квантовій механіці множник з'являється тільки в окремих випадках (наявності обмінних взаємодій), в той час як в релятивістській теорії він є наслідком кросингу і не може бути виключеним, тому врахування сигнатури в ній необхідне всюди.

Полюси Редже в релятивістській квантовій теорії[ред.ред. код]

Можна показати, що для парціальної амплітуди для випадку релятивистської квантової теорії можливе представлення Фруассара-Грибова, вводячи нове квантове число — сигнатуру, яка приймає два значення , можна переписати амплітуду із визначеною сигнатурою, що має «гарну» поведінку при :

де сумування по полюсах із визначеною сигнатурою і Повна амплітуда тоді

при великих значеннях , враховуючи тільки крайній правий полюс,

що збігається з основним виразом для полюсу домінантного вкладу в амплітуди розсіяння траєкторії Редже , тільки додатково із сигнатурним множником .

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б В. де Альфаро, Т.Редже (1966). Потенциальное рассеяние. Москва: Изд. "Мир". с. 275. 
  2. Chew, Geoffrey F.; Frautschi, S. C. (1961-11-15). Principle of Equivalence for all Strongly Interacting Particles within the $S$-Matrix Framework. Physical Review Letters 7 (10). с. 394–397. doi:10.1103/PhysRevLett.7.394. Процитовано 2016-04-19. 
  3. V.Barone, E.Predazzi (2002). High-energy particle diffraction. Berlin: Springer. с. 410. 
  4. Bottino, A.; Longoni, A. M.; Regge, T. (2007-10-25). Potential scattering for complex energy and angular momentum. Il Nuovo Cimento (1955-1965) (en) 23 (6). с. 954–1004. doi:10.1007/BF02731254. ISSN 1827-6121. Процитовано 2016-04-19. 

Література[ред.ред. код]

  • Ширков Д. В., Свойства траекторий полюсов Редже, «УФН», 1970, т. 102, в. 1
  • Коллинз П. Д. Б., Сквайр Э. Дж., Полюса Редже в физике частиц, пер. с англ., М., 1971
  • Regge Т., Introduction to complex· orbital momenta, «Nuovo Cim.», 1959, v. 14, p. 951
  • R.J. Eden, Regge poles and elementary particles, Rep. Prog. Phys. 34 995—1053 (1971)
  • A.C. Irving, R.P. Worden, Regge phenomenology, Phys.Rept. 34, 117—231 (1977)