Теорія Редже

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія Редже (метод полюсів Редже, метод комплексних кутових моментів) - в квантовій механіці та квантовій теорії поля метод описання та дослідження розсіяння елементарних частинок, що ґрунтується на формальному аналітичному продовженні парціальних амплітуд з області фізичних значень моменту імпульсу M=\hbar\ell, \ell= 0, 1, 2,\ldots в область комплексних значень \ell. Метод був введений італійським фізиком Туліо Редже при вивченні аналітичних властивостей квантовомеханічної амплітуди розсіяння.

Суть теорії Редже[ред.ред. код]

Теорія Редже виникла при дослідженні потенціального розсіювання в квантовій механіці. Основна ідея полягала в тому, що значення кутового моменту в загальному випадку можуть набувати комплексні значення, тоді парціальну амплітуду a_{\ell}(k) інтерполюють до функції a(\ell,k), яка для цілих значень \ell
співпадає з a_{\ell}(k)
. Для певного типу потенціалів (наприклад,юкавський потенціал) сингулярності a(\ell,k) виявляється[1] є простими полюсами (полюси Редже), що змінюють місце знаходження в комплексній площині кутового моменту зі зміною енергії, їхнє розташування визначається зі співвідношення \ell=\alpha(k),


де \alpha(k)
- функція енергії, що називається траекторією Редже(може бути представлено як функцію кінематичних змінних Мандельштама, s, t, u). Кожній сім'ї резонансів, а також набору зв'язаних станів відповідає одна траєкторія Редже. Ідея Редже була успішно розвинута в рамках фізики високих енергій[2].

Зокрема, при певних не дуже великих t, де \alpha(t) дійсна, цілочисельні значення \alpha(t) відповідають стабільним зв'язаним станам. При великих t, що перевищують границю суцільного спектру (кінетична енергія частинки додатня), функція \alpha(t) стає комплексною: \alpha(t) = Re \alpha(t)+i Im \alpha(t). Тоді дійсна частина продовжує визначати положення тепер вже резонансного рівня, а уявна частина пропорційна повній ширині рівня, тобто визначає час життя резонансу.

В теорії S
-матриці ми не має рівняння Шредінгера, тож не можна отримати амплітуду розсіяння таким шляхом, як в квантовій механіці, звідки безпосередньо можна було б вивчати її аналітичні властивості. Таким чином, існування полюсів Редже насправді припущення, але воно дозволяє розв'язувати деякі проблеми теорії і, що найголовніше, підтверджується великою кількістю феноменологічних спостережень[3].

Якщо застосовувати ідею Редже до теорії релятивістської S
-матриці, можна показати, зробивши ряд припущень, що релятивістська парціальну амплітуду A_\ell(t)
можна аналітично продовжити до комплексних значень \ell
і при тому єдиним способом. Отримана фунцкія A(\ell,t)
має прості полюси (першопочаткове припущення) при \ell=\alpha(t).

Кожен полюс дає вклад в амплітуду розсіяння, який асимптотично (s\rightarrow\infty

при t

фіксованому) поводиться як

{\displaystyle A(s,t)\sim_{s\rightarrow\infty}s^{\alpha(t)}.

}

Тобто сингулярність, що має найбільшу дійсну частину (основна сингулярність) в t

-каналі визначає асимптотичне поводження амплітуди розсіяння в s

-каналі. Насправді ж в теорії Редже, що застосовується в теорії S
-матриці, вигляд сингулярностей складніший, аніж прості полюси( наприклад, наявність таких сингулярностей, як розрізи, які значно ускладнюють теорію Редже).

Кросинг[ред.ред. код]

Основним принципом кросингу є те, що з однієї і тієї ж функції A(s,t) аналітично продовженої в три фізичні області значень кінематичних змінних отримується амплітуда розсіяння для відповідної області, де s, t, u пов'язані як {\displaystyle s+t+u=\sum_{i=1}^{4}m_i^2.}Таке твердження виявляється правильним для діаграм Фейнмана, де, наприклад, для реакцій e^{-}e^{-}\rightarrow e^{-}e^{-} і e^{+}e^{-}\rightarrow e^{+}e^{-} для опису використовується одна і та ж діаграма Фейнмана. Кросингова симетрія є наслідком аналітичних властивостей амплітуди. Припустімо, що є процес

{\displaystyle a+b\rightarrow c+d,}амплітуду можна записати у вигляді A_{a+b\rightarrow c+d}(s,t,u), лишаючи u  для симетрії, але пам'ятаючи, що вона не є незалежною змінною. Фізичною областю для вищенаписаного процесу є область, де s>\max\{(m_{a}+m_{b})^2,(m_{c}+m_{d})^2\}. В загальному випадку основна частина фізичної області по t і u має обмеження t,u<0. Амплітуда може бути аналітично проджена в область t>\max\{(m_{a}+m_{\bar{c}})^2,(m_{\bar{b}}+m_{d})^2\} і s,u<0, в такій області матимемо амплітуду для процесу в t-каналі{\displaystyle a+\bar{c}\rightarrow \bar{b}+d,}де \bar{c} і \bar{b} античастинки відповідно для b і c. Таким чином, для амплітуд існуватиме рівність

{\displaystyle A_{a+b\rightarrow c+d}(s,t,u)=A_{a+\bar{c}\rightarrow\bar{b}+d}(t,s,u).}

Полюси Редже в квантовій механіці[ред.ред. код]

В квантовій механіці теорія Редже застосовна тільки до певного класу потенціалів, до них є дві умови:

{\displaystyle r^2U(r)\rightarrow_{r\rightarrow0}0;
rU(r)\rightarrow_{r\rightarrow\infty}0.}Тоді парціальна амплітуда, продовжена в комплексну площину кутового моменту, запишеться так a(\ell,k)=\frac{e^{i\pi\ell} g(\ell,k)-g(\ell,-k)}{2ikg(\ell,-k)},

де g(\ell,k) так звана функція Йоста[1]. Важливий клас потенціалів, що мають вищезазначені властивості записується у вигляді узагальненого потенціалу Юкави

{\displaystyle U(r)=\int_{m}^{\infty}c(\mu)e^{-\mu r}d\mu.}Для c(\mu)=C=const цей потенціал співпадає з потенціалом Юкави в його початковій формі, яку використовув Юкава U(r)=C\frac {e^{-\mu r}}{r}.

Амплітуда розсіяння в борнівському наближенні, що відповідає цьому потенціалу, має виглядf(q)\sim\frac{1}{t-m^2},
в якій  t=-q^2=-(\textbf{k}'-\textbf{k})^2 і яка подібна на амплітуду обміну скалярним мезоном. Таким чином, взаємодія при потенціалах юкавського типу мають схожість із взаємодією в теорії S-матриці.

Функцій Йоста мають такі аналітичні властивості[4] : перше - для Re\textrm{ }\ell>-\frac{1}{2}сингулярностями a(\ell,k) як функції \ell є скінченна кількість простих полюсів, друге - амплітуда a(\ell,k) прямує експотенціально до нуля при |\ell|\rightarrow\infty, колиRe\textrm{ }\ell>-\frac{1}{2}..

Таким чином, задовольняються всі умови щодо аналітичного продовження функції a(\ell,k) , яку до того ж може бути продовжено єдиним способом. Далі можна отримати представлення Ватсона-Зомерфельда для |cos\theta|\rightarrow\infty і фіксованої енергії k

, амплітуда розсіяння поводиться як

{\displaystyle f(k,\theta){\sim}_{|\cos\theta|\rightarrow\infty}-\beta(k)\frac{(-\cos\theta)^{\alpha(k)}}{\sin\pi\alpha(k)},
}де \alpha(k) - це домінуюча траекторія Редже, \beta(k)
- лишок полюсу Редже, \cos\theta=1+\frac{2t}{s-4m^2}.
Зрозуміло, що вираз |\cos\theta|\rightarrow\infty не має сенсу, а вивід має тільки демонстративне значення, але в релятивістській теорії ця умова може бути записана як |t|\rightarrow\infty, а вона вже має фізичний зміст.

Слід зазначити, що за наявності обмінної взаємодії у виразі для амплітуди з'являється множник (-1)^{\ell}
, в цьому випадку умова можливості аналітичного продовження не задовольняється, так як при |\ell|\rightarrow\infty
цей множник вносить розбіжність в амплітуду. В результаті теорема Карлсона не справджується, цю проблему можна вирішити, якщо ввести ще одне додаткове квантове число - сигнатуру.

В квантовій механіці множник (-1)^{\ell}
з'являється тільки в окремих випадках (наявності обмінних взаємодій), в той час як в релятивістській теорії він є наслідком кросингу і не може бути виключеним, тому врахування сигнатури в ній необхідне всюди.

Полюси Редже в релятивістській квантовій теорії[ред.ред. код]

Можна показати, що для парціальної амплітуди для випадку релятивистської квантової теорії можливе представлення Фруассара-Грибова, вводячи нове квантове число - сигнатуру, яка приймає два значення \xi=\pm1


, можна переписати амплітуду із визначеною сигнатурою, що має "гарне" поводження при \ell\rightarrow\infty
:

{\displaystyle A^{\xi}(z_{t},t)=-\sum_{i_{\xi}}\pi(2\alpha_{i_{\xi}}(s)+1)\beta_{i_{\xi}}(s)\frac{P_{\alpha_{i_{\xi}}}(-z_{t})}{\sin\pi\alpha_{i_{\xi}}}-\frac{1}{2i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}(2\ell+1)A^{\xi}(\ell,s)\frac{P_{\ell}(-z_{t})}{\sin\pi\ell}d\ell,


}

де сумування по полюсах із визначеною сигнатурою і z_{t}\equiv\cos\theta_{t}=1+\frac{2s}{t-4m^2}.

Повна амплітуда тоді

{\displaystyle 
A(z_{t},t)=-\sum_{\xi=\pm1}\sum_{i_{\xi}}\frac{1+\xi
e^{-i\pi\ell}}{2}\pi(2\alpha_{i_{\xi}}(s)+1)\beta_{i_{\xi}}(s)\frac{P_{\alpha_{i_{\xi}}}(-z_{t})}{\sin\pi\alpha_{i_{\xi}}}-
-\frac{1}{2i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{1+\xi
e^{-i\pi\ell}}{2}(2\ell+1)A^{\xi}(\ell,s)\frac{P_{\ell}(-z_{t})}{\sin\pi\ell}d\ell,

}

при великих значеннях |z_{t}|
, враховуючи тільки крайній правий полюс, отримаємоA(s,t)\sim_{s\rightarrow\infty}-\beta(t)\frac{1+\xi
e^{-i\pi\ell}}{\sin\pi\alpha(t)}s^{\alpha(t)},


що співпадає ізосновним виразом для полюсу домінантного вкладу в апмлітуди розсіяння в траєкторії Редже \alpha(t)


тільки додаково із сигнатурним множником(1+\xi e^{-i\pi\ell})


.

Див. також[ред.ред. код]


Література[ред.ред. код]

  • Ширков Д. В., Свойства траекторий полюсов Редже, «УФН», 1970, т. 102, в. 1
  • Коллинз П. Д. Б., Сквайр Э. Дж., Полюса Редже в физике частиц, пер. с англ., М., 1971
  • Regge Т., Introduction to complex· orbital momenta, "Nuovo Cim.", 1959, v. 14, p. 951
  • R.J. Eden, Regge poles and elementary particles, Rep. Prog. Phys. 34 995—1053 (1971)
  • A.C. Irving, R.P. Worden, Regge phenomenology, Phys.Rept. 34, 117—231 (1977)

Зовнішні посилання[ред.ред. код]

  1. а б В. де Альфаро, Т.Редже (1966). Потенциальное рассеяние. Москва: Изд. "Мир". с. 275. 
  2. Chew, Geoffrey F.; Frautschi, S. C. (1961-11-15). Principle of Equivalence for all Strongly Interacting Particles within the $S$-Matrix Framework. Physical Review Letters 7 (10). с. 394–397. doi:10.1103/PhysRevLett.7.394. Процитовано 2016-04-19. 
  3. V.Barone, E.Predazzi (2002). High-energy particle diffraction. Berlin: Springer. с. 410. 
  4. Bottino, A.; Longoni, A. M.; Regge, T. (2007-10-25). Potential scattering for complex energy and angular momentum. Il Nuovo Cimento (1955-1965) (en) 23 (6). с. 954–1004. doi:10.1007/BF02731254. ISSN 1827-6121. Процитовано 2016-04-19.