Лема Лебега

Лема Лебега у теорії метричних просторів стверджує, що для будь-якого відкритого покриття ${\mathcal {U}}$ компактного метричного простору $X$ існує число $\delta >0$ таке, що будь-яка підмножина діаметра $\delta$ в $X$ міститься хоча б в одному елементі покриття ${\mathcal {U}}$ .

Таке число $\lambda$ називається числом Лебега покриття $P$ .

Для некомпактних метричних просторів це твердження не є вірним, можливо навіть побудувати двоелементне покриття дійсної прямої, для якого немає жодного числа Лебега.

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай ${\mathcal {U}}$ — відкрите покриття простору $X$ . Оскільки $X$ є компактним простором можна вважати покриття скінченним з елементами $\{A_{1},\dots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}$ . Якщо якась із множин $A_{i}$ є рівною $X$ то будь-яке число $\delta >0$ буде числом Лебега. В іншому випадку для кожного $i\in \{1,\dots ,n\}$ , позначимо $C_{i}:=X\setminus A_{i}$ і ці множини будуть непорожніми. Введемо функцію $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ визначену як $f(x):={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i})$ .

Функція $f$ є неперервною на компактній множині і тому набуває свого мінімального значення $\lambda$ . Образ $f(X)$ як образ компактної множини при неперервному відображенні, теж є компактною, а тому і замкнутою множиною. Оскільки $0\not \in f(X)$ то $\lambda >0$ . Нехай число $0<\delta <\lambda$ .

Якщо $Y$ є підмножиною $X$ діаметру $\delta$ , то існує $x_{0}\in X$ , така що $Y\subseteq B_{\delta }(x_{0})$ , де $B_{\delta }(x_{0})$ позначає кулю радіуса $\delta$ з центром у точці $x_{0}$ (за $x_{0}$ можна обрати будь-яку точку множини $Y$ ). Оскільки $f(x_{0})\geq \lambda >\delta$ то хоча б для одного $i$ виконується нерівність $d(x_{0},C_{i})>\delta$ . Але це означає, що $B_{\delta }(x_{0})\subset A_{i}$ і тому $Y\subseteq A_{i}$ .