Лема Стейніца про заміну

Лема Стейніца про заміну — твердження в лінійній алгебрі про те, що довільну множину лінійно незалежних векторів у (скінченновимірному) лінійному просторі можна доповнити до базису простору елементами деякого заданого базису. Лема використовується в доведенні твердження про однакову кількість елементів у всіх базисах скінченновимірного лінійного простору.

Названа на честь німецького математика Ернста Стейніца.

Твердження Леми[ред. | ред. код]

Нехай $X=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ — базис лінійного простору $V,$ а $Y=\{w_{1},\ldots w_{s}\}$ — множина лінійно незалежних векторів. Тоді:

$s\leqslant n$
Серед векторів $v_{1},\ldots ,v_{n}$ можна вибрати підмножину $X'$ з $n-s$ векторів, які разом з $w_{1},\ldots w_{s}$ утворюють базис простору $V$ .

Доведення[ред. | ред. код]

Доведення здійснюється методом математичної індукції за величиною $s=|Y|$ .

Для $s=0$ , $Y$ є пустою множиною і тоді $X'=X$ .

Припустимо твердження є справедливим для всіх множин $Y$ , для яких $|Y|=s-1$ . Покажемо справедливість для $|Y|=s$ .

Визначимо множину $Y=\{w_{1},\ldots w_{s}\}$ і $Y_{1}=\{w_{1},\ldots w_{s-1}\}$ . З припущення індукції $s-1\leqslant n$ і існує підмножина $X'_{1}\subset X$ , така що $|X'_{1}|=n-(s-1)$ і $\langle X'_{1}\cup Y_{1}\rangle =V$ . Для визначеності припустимо що $X'_{1}=\lbrace v_{1},\ldots ,v_{n-s+1}\rbrace$ .

Оскільки множина $\langle X'_{1}\cup Y_{1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{n-s+1},w_{1},\ldots w_{s-1}\rangle$ є базисом лінійного простору то:

w_{s}=\alpha _{1}v_{1}+\ldots +\alpha _{n-s+1}v_{n-s+1}+\beta _{1}w_{1}+\ldots \beta _{s-1}w_{s-1}

для деяких скалярів $\alpha _{i},\beta _{i}$ .

Для деякого $i$ , виконується $\alpha _{i}\neq 0$ , бо в іншому разі $w_{s}=\beta _{1}w_{1}+\ldots \beta _{s-1}w_{s-1}$ , що суперечить лінійній незалежності векторів з $Y$ . Без втрати загальності нехай $\alpha _{n-s+1}\neq 0$ .

Тоді

v_{n-s+1}=\alpha _{n-s+1}^{-1}(w_{s}-\alpha _{1}v_{1}-\ldots -\alpha _{n-s}v_{n-s}-\beta _{1}w_{1}-\ldots \beta _{s-1}w_{s-1})

.

Тоді $V=\langle v_{1},\ldots ,v_{n-s},w_{1},\ldots w_{s}\rangle$ , тобто для кожного $v\in V$ визначені скаляри $\alpha _{i}',\beta _{i}'$ , для яких

v=\alpha _{1}'v_{1}+\ldots +\alpha _{n-s+1}'v_{n-s+1}+\beta _{1}'w_{1}+\ldots \beta _{s-1}'w_{s-1}

.

Достатньо взяти $X'=\{v_{1},\ldots ,v_{n-s}\}$ . Тоді $\langle X'\cup Y\rangle =V$ .

Також $s-1<n$ . Якщо б було $s-1=n$ , то $\langle Y_{1}\rangle =V$ і відповідно $w_{s}\in \langle Y_{1}\rangle$ , що суперечило б лінійній незалежності $Y$ . Оскільки $s-1$ < $n$ то $s\leqslant n$ .