Лема Стейніца про заміну

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лема Стейніца про заміну — твердження в лінійній алгебрі про те, що довільну множину лінійно незалежних векторів у лінійному просторі можна доповнити до базису простору елементами деякого заданого базису. Лема використовується в доведенні твердження про однакову кількість елементів у всіх базисах лінійного простору.

Названа на честь німецького математика Ернста Стейніца.

Твердження Леми[ред.ред. код]

Нехай —базис лінійного простору а — множина лінійно незалежних векторів. Тоді:

  1. Серед векторів можна вибрати підмножину з векторів, які разом з утворюють базу простору .

Доведення[ред.ред. код]

Доведення здійснюється методом математичної індукції за величиною .

Для , є пустою множиною і тоді .

Припустимо твердження є справедливим для всіх множин , для яких . Покажемо справедливість для .

Визначимо множину і . З припущення індукції і існує підмножина , така що і . Для визначеності припустимо що .

Оскільки множина є базисом лінійного простору то:

для деяких скалярів .

Для деякого , виконується , бо в іншому разі , що суперечить лінійній незалежності векторів з . Без втрати загальності нехай .

Тоді

.

Тоді , тобто для кожного визначені скаляри , для яких

.

Достатньо взяти . Тоді .

Також . Якщо б було , то і відповідно , що суперечило б лінійній незалежності . Оскільки < то .

Джерела[ред.ред. код]

  • Cohn, P. M. (1982). Algebra. Vol. 1 (вид. 2nd). Chichester: John Wiley & Sons. с. xv+410. ISBN 0-471-10169-9.