Лінійно незалежні вектори

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) — множина векторів, які не утворюють нетривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо V \! векторний простір над полем K \! і множина векторів M \subseteq V \!.

  • M \! називається лінійно незалежною, якщо будь-яка його скінченна підмножина є лінійно незалежною.
  • Скінченна множина \ M' = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\} називається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація векторів дорівнює нулю тільки в тривіальному випадку, тобто:
\forall a_1, \cdots, a_n \in K: \quad a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \ldots + a_n\mathbf{v}_n = 0 \quad \iff \quad a_1=a_2=\cdots=a_n=0.
  • Якщо існує така лінійна комбінація векторів рівна нулю з хоча б одним a_i \neq 0 \!, то M' \! називається лінійно залежною.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо 0 \in M \!, то M \! є лінійно залежна.
  • Якщо M \! лінійно незалежна, то M' \! лінійно незалежна для всіх M' \subseteq M.
  • Якщо M \! лінійно залежна, то M' \! лінійно залежна для всіх M' \supseteq M.

Застосування[ред.ред. код]

  • Ранг матриці дорівнює кількості її лінійно незалежних рядків чи стовпців.
  • Базис векторного простору також є множиною лінійно незалежних векторів.
  • Геометричний зміст:
    • Вектори \vec{a},\;\vec{b} лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
    • Вектори \vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c} лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.