Лінійно незалежні вектори

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) — множина векторів, які не утворюють нетривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо векторний простір над полем і множина векторів .

  • називається лінійно незалежною, якщо будь-яка його скінченна підмножина є лінійно незалежною.
  • Скінченна множина називається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація векторів дорівнює нулю тільки в тривіальному випадку, тобто:
  • Якщо існує така лінійна комбінація векторів рівна нулю з хоча б одним , то називається лінійно залежною.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо , то є лінійно залежна.
  • Якщо лінійно незалежна, то лінійно незалежна для всіх .
  • Якщо лінійно залежна, то лінійно залежна для всіх .

Застосування[ред.ред. код]

  • Ранг матриці дорівнює кількості її лінійно незалежних рядків чи стовпців.
  • Базис векторного простору також є множиною лінійно незалежних векторів.
  • Геометричний зміст:
    • Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
    • Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.