Лінійна алгебра

У тривимірному евклідовому просторі ці три площини представляють розв'язки лінійних рівнянь, а їх перетин — множину спільних розв’язків: у цьому випадку — єдину точку. Синя лінія є спільним розв’язком двох із цих рівнянь.

Ліні́йна а́лгебра — частина алгебри, що вивчає вектори, векторні простори, лінійні відображення та системи лінійних рівнянь. Векторні простори зустрічаються в математиці та її прикладних застосуваннях. Лінійна алгебра широко використовується в абстрактній алгебрі та функціональному аналізі і застосовується у природничих науках.

Предмет лінійної алгебри

До лінійної алгебри відносять: теорію лінійних рівнянь, теорію визначників, теорію матриць, теорію векторних просторів та лінійних перетворень у них, теорію форм (наприклад, квадратичних), теорію інваріантів (частково), тензорне числення (частково).

Історія

Історично першим питанням лінійної алгебри було знаходження розв'язків лінійних рівнянь. Побудова теорії для систем таких рівнянь потребувала таких інструментів, як теорія матриць і визначників, і привела до появи теорії векторних просторів.

Лінійні рівняння як рівняння прямих і площин стали природним предметом вивчення після винаходу Декартом і Ферма методу координат (близько 1636). Гамільтон у своїй роботі 1833 представляв комплексні числа у вигляді, як ми б зараз сказали, двовимірного дійсного векторного простору, йому належить відкриття кватерніонів, а також авторство терміна «вектор». Теорія матриць була розроблена у працях Келі (1850-ті). Системи лінійних рівнянь у векторному для матриці вигляді вперше з'явилися, мабуть, у роботах Лагерра (1867). Герман Грассман у роботах 1844 та 1862 року вивчає те, що ми тепер назвали б алгеброю, і його формальний виклад по суті є першою аксіоматичною теорією систем алгебри. У явному вигляді аксіоми лінійного простору сформульовані в роботі Пеано (1888).

Основні поняття

Розвиток лінійної алгебри почався з практичних задач розв'язування лінійних рівнянь та аналітичної геометрії. Поступово сформувалися абстрактні поняття вектора, матриці, векторного простору, скалярного добутку, визначників тощо.

Вектор

Вектор у лінійній алгебрі є узагальненням геометричного тривимірного вектора, що використовується в геометрії та механіці. У розумінні лінійної алгебри вектор — це індексована сукупність чисел або інших математичних об'єктів $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$, яка має ту властивість, що її можна множити на число, наприклад $\lambda$, і результатом цього добутку буде новий вектор $(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})$. Вектори можна також додавати, і сумою двох векторів буде вектор, в якому кожному індексу відповідатиме сума відповідних компонент векторів-доданків:

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})$.

Компонентами векторів $x_{i}$ є зазвичай дійсні числа, хоча вони можуть бути іншими математичними об'єктами, наприклад, комплексними числами, векторами або матрицями. Важливо тільки, щоб для них була визначена операція додавання. Аналогічно, число, на яке можна помножити вектор, зазвичай є дійсним числом, але може бути й комплексним, головне, щоб для вектора була визначена операція множення на нього.

Вище вектори записані у вигляді рядка, однак, у лінійній алгебрі їх частіше записують у вигляді стовбчика:

$x=\left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{matrix}}\right)$

Векторний простір

Векторним або лінійним простором називають множину векторів, до якої належать вектори з будь-яким можливим значенням компонент, тобто це множина всіх векторів заданої природи. Окрім того, що у векторному просторі визначені операції додавання векторів та множення на скаляр (число), для того, щоб множина векторів складала векторний простір на ній повинен діяти ряд аксіом: комутативності, асоціативності, дистрибутивності додавання і множення на скаляр, існування нульового і протилежного елемента.

Число n, яке визначає кількість елементів вектора називається розмірністю векторного простору. Лінійна алгебра вивчає векторні простори скінченної розмірності. Вектори з нескінченним числом компонент вивчаються іншими розділами математики, зокрема функціональним аналізом.

Лінійне відображення

Між двома векторними просторами можна задати відображення. Лінійна алгебра вивчає відображення, які називаються лінійними. Лінійне відображення пов'язує між собою два векторні простори, побудовані над одним і тим же полем, тобто числа, на які множаться вектори повинні мати однакову природу. Воно є гомоморфізмом, тобто кожному елементу однієї множини лінійне відображення ставить у відповідність елемент іншої множини, крім того, воно має ту властивість, що сумі елементів однієї множини відповідає сума відповідних елементів іншої множини, і елементу, помноженому на число, відповідає елемент іншої множини, помножений на те ж число.

Лінійне відображення простору у себе (ендоморфізм) називається лінійним перетворенням.

Матриця

Найважливішим способом задання лінійного відображення є матриця — таблиця чисел або інших математичних об'єктів з двома індексами, наприклад $a_{ij}$. За допомогою матриці лінійне відображення $X\rightarrow Y$ задається у вигляді

$y_{i}=\sum _{j}a_{ij}x_{i}$,

тобто кожна компонента вектора y з векторного простору Y є лінійною комбінацією компонент вектора x з векторного простору X з коефіцієнтами, які визнаються елементами матриці A.

У випадку лінійного перетворення матриця перетворення квадратна.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Система лінійних рівнянь від трьох змінних визначає набір площин. Точка перетину є розв'язком.

Задача знаходження елемента векторного простору, який при лінійному перетворенні переходить у визначений елемент іншого векторного простору приводить до поняття системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими — це система рівнянь виду

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ \dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ \dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ \dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}$

Вона може бути представлена у​ матричній формі як:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ \cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ \cdots &a_{2n}\\\vdots &\ \vdots &\ \ddots &\ \vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ \cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$

або:

$Ax=b$.

Вивчення розділу «Лінійна алгебра»

Лінійні простори

• Лінійний простір, модуль над кільцем.
• Лінійна незалежність векторів, ранг системи векторів.
• Базис лінійного простору, матриця переходу (при зміні базиса).
• Лінійний підпростір

Лінійні перетворення

• Лінійне відображення (лінійний оператор), лінійне перетворення, матриця лінійного перетворення.
• Власні значення та власні вектори лінійного перетворення, характеристичний поліном, теорема Гамільтона — Келі.
• Ядро та образ лінійного оператора
• Інваріантні підпростори для лінійного перетворення.

Білінійні та квадратичні форми

• Білінійна форма, квадратична форма, закон інерції, критерій Сільвестра.
• Правило паралелограма

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

• Система лінійних алгебраїчних рівнянь
• Теорема Кронекера — Капеллі
• Метод Крамера
• Метод Гауса
• Метод Гауса — Жордана

Аналітична геометрія

• Евклідів простір
• Скалярний добуток

Зв'язок із геометрією

Між лінійною алгеброю та геометрією існує тісний зв'язок, який бере свій початок із запровадження Рене Декартом у 1637 році декартових координат. У цій новій (на той час) геометрії, яка зараз називають декартовою геометрією, точки позначаються декартовими координатами, які є послідовностями трьох дійсних чисел (у випадку звичайного тривимірного простору). Основні об'єкти геометрії, а саме прямі та площини, представлені лінійними рівняннями. Таким чином, обчислення перетинів прямих і площин зводиться до розв'язання систем лінійних рівнянь. Це було однією з головних причин розвитку лінійної алгебри.

Більшість геометричних перетворень, таких як перенесення, обертання, відбиття, жорсткі рухи, ізометрії та проекції, перетворюють прямі на прямі. Звідси випливає, що їх можна визначити, описати та досліджувати за допомогою лінійних відображень. Це також стосується гомографій та перетворень Мебіуса, якщо розглядати їх як перетворення проективного простору.

До кінця XIX століття геометричні простори визначалися аксіомами, що пов'язували точки, прямі та площини (синтетична геометрія). Приблизно в цей же час з'ясувалося, що геометричні простори можна визначати і за допомогою побудов, пов'язаних з векторними просторами (див., наприклад, проективний простір та афінний простір). Було показано, що ці два підходи по суті еквівалентні. У класичній геометрії використовувані векторні простори є векторними просторами над дійсними числами, але ці побудови можна поширити на векторні простори над будь-яким полем, що дозволяє розглядати геометрію над довільними полями, включаючи скінченні поля

Наразі в більшості підручників геометричні простори розглядаються в контексті лінійної алгебри, а геометрія на початковому рівні часто подається як розділ лінійної алгебри.

Використання та застосування

Лінійна алгебра застосовується майже в усіх галузях математики, що робить її актуальною практично в усіх наукових сферах, де використовується математика. Ці застосування можна розділити на кілька широких категорій.

Функціональний аналіз

Функціональний аналіз вивчає функціональні простори. Це векторні простори з додатковою структурою, такі як гілбертові простори. Отже, лінійна алгебра є фундаментальною складовою функціонального аналізу та його застосувань, до яких, зокрема, належать квантова механіка (хвильові функції) та аналіз Фур'є (ортогональний базис).

Наукові обчислення

Майже всі наукові обчислення пов'язані з лінійною алгеброю. Відповідно, алгоритми лінійної алгебри були ретельно оптимізовані. Найвідомішими реалізаціями є BLAS та LAPACK. З метою підвищення ефективності деякі з них автоматично налаштовують алгоритми під час виконання, адаптуючи їх до особливостей комп'ютера (розмір кешу, кількість доступних ядер тощо).

З 1960-х років існували процесори зі спеціалізованими інструкціями для оптимізації операцій лінійної алгебри, додаткові масивні процесори під керуванням звичайного процесора, суперкомп'ютери призначені для обробки масивів, та звичайні процесори, доповнені векторними регістрами.

Деякі сучасні процесори, як правило, графічні процесори (GPU), мають матричну структуру, що дозволяє оптимізувати операції лінійної алгебри.

Геометрія навколишнього простору

Моделювання навколишнього простору ґрунтується на геометрії. Науки, що займаються цим простором, широко використовують геометрію. Це стосується механіки та робототехніки, де геометрія застосовується для опису динаміки твердих тіл; геодезії — для опису форми Землі ; перспективної геометрії, комп'ютерного зору та комп'ютерної графіки — для опису взаємозв'язку між сценою та її плоским зображенням; а також багатьох інших наукових галузей.

У всіх цих випадках для загального опису та якісного аналізу часто використовують синтетичну геометрію, але для дослідження конкретних ситуацій необхідно проводити обчислення з використанням координат. Це вимагає широкого застосування лінійної алгебри.

Вивчення складних систем

Більшість фізичних явищ моделюються за допомогою диференціальних рівнянь з частинними похідними. Для їх розв'язання зазвичай простір, у якому шукаються розв'язки, на невеликі, взаємодіючі між собою комірки. Для лінійних систем ця взаємодія відбувається за допомогою лінійних функцій. Для нелінійних систем цю взаємодію часто апроксимують лінійними функціями. Це називається лінійною моделлю або наближенням першого порядку. Лінійні моделі часто використовуються для складних нелінійних реальних систем, оскільки вони спрощують процес параметризації. В обох випадках, як правило, мають місце дуже великі матриці. Прогнозування погоди (або, точніше, параметризація для моделювання атмосфери) є типовим прикладом реального застосування, де вся атмосфера Землі поділяється на комірки, скажімо, 100 км ширини та 100 км висоти.

Механіка рідин, динаміка рідин та теплоенергетичні системи

Лінійна алгебра — розділ математики, що вивчає векторні простори та лінійні відображення між цими просторами — відіграє ключову роль у різних інженерних дисциплінах, зокрема в механіці рідин, гідродинаміці та теплоенергетичних системах. Її застосування в цих галузях має багатогранний характер і є незамінним для вирішення складних задач.

У гідродинаміці лінійна алгебра відіграє ключову роль у розумінні та вирішенні задач, пов'язаних із поведінкою рідин. Вона допомагає в моделюванні та симуляції потоку рідини, надаючи необхідні інструменти для аналізу задач гідродинаміки. Наприклад, методи лінійної алгебри використовуються для розв'язання систем диференціальних рівнянь, що описують рух рідини. Ці рівняння, які часто є складними та нелінійними, можна лінеаризувати за допомогою методів лінійної алгебри, що дозволяє спростити їх розв'язання та аналіз.

У галузі гідродинаміки лінійна алгебра знаходить своє застосування в обчислювальній гідродинаміці (CFD) — розділі, який використовує числовий аналіз та структури даних для вирішення та аналізу задач, пов'язаних з потоками рідини. CFD значною мірою спирається на лінійну алгебру для обчислення потоків рідини та теплообміну в різних сферах застосування. Наприклад, рівняння Нав'є-Стокса, що є фундаментальними в гідродинаміці, часто розв'язуються за допомогою методів, що походять з лінійної алгебри. Це включає використання матриць та векторів для представлення та маніпулювання полями потоку рідини.

Крім того, лінійна алгебра відіграє ключову роль у системах теплової енергії, зокрема в аналізі енергетичних систем. Вона використовується для моделювання та оптимізації виробництва, передачі та розподілу електроенергії. Поняття лінійної алгебри, такі як операції з матрицями та задачі на власні значення, застосовуються для підвищення ефективності, надійності та економічної результативності енергетичних систем. Застосування лінійної алгебри в цьому контексті є надзвичайно важливим для проектування та експлуатації сучасних енергетичних систем, включаючи відновлювані джерела енергії та і"розумні" мережі.

Загалом, застосування лінійної алгебри в гідростатиці, гідродинаміці та системах теплоенергетики є прикладом тісного взаємозв'язку між математикою та інженерією. Воно надає інженерам необхідні інструменти для моделювання, аналізу та вирішення складних задач у цих галузях, що сприяє прогресу в технології та промисловості.

Література

Українською

1. Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
2. Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2026. — 757 с.(укр.)
3. Чарін В.С. (2005). Лінійна алгебра (PDF). Київ: Техніка. с. 416.(укр.)
4. Безущак О. О.; Ганюшкін О. Г.; Кочубінська Є. А. (2019). Навчальний посібник з лінійної алгебри (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 224.(укр.)
5. В. В. Булдигін; І. В. Алєксєєва; В. О. Гайдей; О. О. Диховичний; Н. Р. Коновалова; Л. Б. Федорова (2011). Лінійна алгебра та аналітична геометрія Навч. посібник (PDF). Київ: ТВіМС. с. 224.(укр.)
6. Андрійчук В.І., Забавський, Б.В. (2008 р.). Лінійна алгебра (PDF). Львів: Міністерство освіти і науки України, Львівський національний університет імені Івана Франка. ISBN 9789666136230. Архів оригіналу (PDF) за 21 січня 2022. Процитовано 13 червня 2016. (укр.)
7. Боднарчук Ю.В.; Олійник Б.В. (2010 р.). Лінійна алгебра та аналітична геометрія (PDF). Київ: Києво-Могилянська академія. с. 176. ISBN 978-966-518-539-0. Архів оригіналу (PDF) за 27 вересня 2016. Процитовано 17 червня 2016. (укр.)
8. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: навч. посіб. / О. М. Рибицька, Д. М. Білонога, П. І. Каленюк ; М-во освіти і науки, молоді та спорту України, Нац. ун-т «Львів. політехніка». — Л. : Вид-во Львів. політехніки, 2011. — 124 с. : іл. — Бібліогр.: с. 116 (10 назв). — ISBN 978-617-607-142-6 : 1
9. Романів О.М. (2014 р.). Лінійна алгебра. Львів: І.Е. Чижиков. ISBN 9789662645118. (укр.)
10. Овчинников П. П.; Яремчук Ф. П.; Михайленко В. М. (2003 р.). Вища математика: Підручник. У 2 частинах. Ч. 1: Лінійна і векторна алгебра: Аналітична геометрія: Вступ до математичного аналізу: Диференціальне і інтегральне числення. Київ: "Техніка". ISBN 966-575-055-0. (укр.)
11. Тевяшев А. Д.; Литвин О.Г. (2002 р.). Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1: Лінійна алгебра і аналітична геометрія: Диференціальне числення функцій однієї змінної. Харків: ХТУРЕ. ISBN 5-7763-1513-1. (укр.)
12. Дубовик В. П.; Юрик І. І. (2006 р.). Вища математика. Київ: Університетська бібліотека. ISBN 966-539-320-0. (укр.)
13. Єрмаков А. І., Крамар М. М. Лінійна алгебра: Навчальний посібник. — Луганськ: Вид-во СУДУ, 2000. 176 с.
14. Городецький В.В.; Колісник Р.С.; Сікора В.С. (2014 р.). Курс лінійної алгебри в теоремах і задачах. Чернівці: С.Н. Яворський. (укр.)
15. Лінійна алгебра [Архівовано 6 жовтня 2017 у Wayback Machine.] / Енциклопедія сучасної України / ред. кол.: І. М. Дзюба [та ін.] ; НАН України, НТШ. — К. : Інститут енциклопедичних досліджень НАН України, 2001­–2026. — ISBN 966-02-2074-X.

Іншими мовами

1. Serge Lang (1997 р.). Introduction to Linear Algebra (Undergraduate Texts in Mathematics) 2nd edition. New York: Springer. ISBN 978-0387962054. (англ.)
2. Gilbert Strang (2009 р.). Introduction to Linear Algebra, Fourth Edition. Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0980232714. (англ.)

1. Beezer, Robert A. (2015). A First Course in Linear Algebra. Архів оригіналу за 21 травня 2016. Процитовано 22 травня 2016. (англ.)
2. Hefferon, Jim (2014). Linear Algebra (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 8 березня 2016. Процитовано 22 травня 2016. (англ.)
3. Anton H., Rorres C. (2013). Elementary Linear Algebra, Applications Version (PDF). Canada: Wiley. с. 792. (англ.)
4. Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations. — 4. — М: : The Johns Hopkins University Press, 2013. — 756 с.(англ.)
5. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)