Многогранник Ньютона

Многогранник Ньютона — многогранник із цілочисельними вершинами в n-вимірному евклідовому просторі, який будується за многочленом від n змінних.

Побудова

Припустимо,

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum a_{i_{1},\dots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\dots x_{n}^{i_{n}}$

— многочлен від n змінних. Позначимо через $I$ множину всіх мультиіндексів $i_{1},\dots ,i_{n}$ таких, що $a_{i_{1},\dots ,i_{n}}\neq 0$. За визначенням многочлена $I$ скінченне.

Опуклу оболонку

$N_{f}=\mathop {\rm {Conv}} I\subset \mathbb {R} ^{n}$

називають многогранником Ньютона многочлена $f$.

Властивості

• Типове число ненульових розв'язків системи поліноміальних рівнянь $f_{1}=\dots =f_{n}=0$ дорівнює

  $n!\cdot V(N_{1},\dots ,N_{n}),$

де $N_{i}$ многогранник Ньютона многочлена $f_{i}$ і $V(N_{1},\dots ,N_{n})$ — їх змішаний об'єм.

Варіації та узагальнення

• Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогічна конструкція для типових лінійних комбінацій даних многочленів.

Література

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства. Наука, 1980.
• Valentina Kiritchenko, Evgeny Smirnov, Vladlen Timorin, Ideas of Newton-Okounkov bodies, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach, No. 8/2015

Інтернет-ресурси

• Linking Groebner Bases and Toric Varieties [Архівовано 16 травня 2022 у Wayback Machine.]
• Rossi, Michele; Terracini, Lea (2020). Toric varieties and Gröbner bases: the complete Q-factorial case. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 31 (5–6): 461—482. arXiv:2004.05092. doi:10.1007/s00200-020-00452-w.