Многочлен HOMFLY

У математичній теорії вузлів многочлен HOMFLY або многочлен HOMFLYPT (іноді, узагальнений многочлен Джонса) — многочлен вузла з 2 змінними, тобто інваріант вузла у формі многочлена змінних m і l.

Центральним питанням математичної теорії вузлів є те, чи дві діаграми вузлів представляють один і той самий вузол. Один із інструментів для відповідей на такі запитання — многочлен вузла: його обчислюють за діаграмою вузла і можна показати, що він є інваріантом вузла, тобто діаграми, що представляють той самий вузол, мають однаковий многочлен. Обернене може бути хибним. Многочлен HOMFLY є одним із таких інваріантів, він узагальнює два раніше відкриті многочлени, многочлен Александера та многочлен Джонса, які можна отримати з HOMFLY відповідними замінами. Многочлен HOMFLY також є квантовим інваріантом.

Назва HOMFLY поєднує в собі ініціали його співвідкривачів: Джима Госте (Jim Hoste), Адріана Окнеану, Кеннета Міллета, Пітера Фрайда, Вільяма Лікоріша та Девіда Єттера (David N. Yetter). Додаток PT вказує на незалежний внесок Юзефа Пшетиського і Павла Трачика (Paweł Traczyk).

Визначення

Многочлен визначають за допомогою скейн-співвідношення:

$P(\mathrm {unknot} )=1,\,$

$P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).$

де $L_{+},L_{-},L_{0}$ — зачеплення, утворені перетином та згладжуванням у локальній ділянці діаграми зачеплення, як показано на малюнку.

Многочлен HOMFLY зачеплення L, яка є розділеним об'єднанням двох зачеплень $L_{1}$ і $L_{2}$ має вигляд

$\ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,$

На сторінці про скейн-співвідношення є приклад обчислення з використанням таких співвідношень.

Інші скейн-співвідношення HOMFLY

Цей многочлен можна також отримати, використовуючи інші скейн-співвідношення:

$\alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0}),\,$

$xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0,\,$

Основні властивості

$P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,$де # позначає суму вузлів; таким чином, поліном HOMFLY складеного вузла є добутком многочленів HOMFLY його компонентів.

$P_{K}(\ell ,m)=P_{{\text{Mirror Image}}(K)}(\ell ^{-1},m),\,$тому многочлен HOMFLY часто можна використати для розрізнення двох вузлів різної хіральності. Однак існують хіральні пари вузлів, які мають однаковий многочлен HOMFLY, наприклад вузли 9₄₂ і 10₇₁ разом із відповідними дзеркальними зображеннями.

Многочлен Джонса, V (t), і многочлен Александера, $\Delta (t)\,$ можна обчислити через многочлен HOMFLY (версія зі змінними $\alpha$ і $z$):

$V(t)=P(\alpha =t^{-1},z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,$

$\Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,$

Література

• Kauffman, LH, Formal knot theory, Princeton University Press, 1983.
• Lickorish, W. B. R. An Introduction to Knot Theory. Спрингер.ISBN 0-387-98254-XISBN 0-387-98254-X.

Посилання

• «Jones-Conway polynomial», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. Многочлен HOMFLY(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• The HOMFLY-PT Polynomial, The Knot Atlas.