Теорія вузлів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Тривимірне зображення вузла-трилисника, найпростішого нетривіального вузла
Діаграма вузла-трилисника

В топології, теорія вузлів вивчає математичні вузли. На відміну від вузлів, які нам зустрічаються в повсякденному житті, такі як, наприклад, вузли на шнурках, математичні вузли завжди замкнені, тобто, їхні кінці не можуть бути роз'єднані. Мовою математики, вузол - це вкладення кола в тривимірний евклідів простір, R3 (в топології, коли ми говоримо про коло, то не обмежуємося його звичайним геометричним змістом, але включаємо в це поняття всі його гомеоморфізми). Два математичні вузли вважаються однаковими, якщо їх можна перевести один в інший деформацією простору R3  всередині самого себе (відома як охоплювальна ізотопія); до цих трансформацій відносяться такі маніпуляції з вузлом, що не включають в себе його розрізання і подальше склеювання, або проходження кривої, що формує вузол, самої через себе.

Вузли можуть бути описаними різними способами. Наприклад, розповсюдженим методом описання вузла є пласка схема, що називається діаграмою вузла. Але будь-який вузол може бути зображеним на ній багатьма різними способами. З цього випливає одна з фундаментальних проблем теорії вузлів - визначити, чи зображують два різні описи один і той самий вузол.

Рішення цієї задачі існують, але їх складність невідома. На практиці, вузли часто порівнюють, використовуючи інваріанти, кількісні характеристики вузлів, що є незмінними для вузла незалежно від способу його зображення. Важливими інваріантами є різноманітні поліноми вузлів, група вузла, а також гіперболічні інваріанти.

Початковою задачею теорії вузлів було створення таблиці вузлів і зачеплень (вузли з кількох компонент, переплетених між собою). З тих пір було описано близько шести мільярдів вузлів і зачеплень. 

Для подальшого розширення теорії вузлів вони генералізуються в кількох напрямках. Вузли можуть вкладатися у інші, неевклідові простори, і вкладатися можуть не кола, а інші об'єкти. Вузлами високих вимірів називають n-мірні сфери, що вкладені у m-мірні евклідові простори. 

Історія[ред. | ред. код]

Кельтський малюнок з Келлської книги, IX ст.

За даними археології, вузли почали в'язати ще в доісторичні часи. Окрім практичного використання, такого як зв'язування предметів або запис інформації, вузли цікавили людей як естетичні об'єкти та релігійні символи. Вузли часто використовуються в китайських витворах мистецтва, що зустрічаються починаючи з кількох століть до нашої ери. Нескінченний вузол трапляється в Тибетському буддизмі, тоді як кільця Борромео зустрічаються в різноманітних археологічних згадках різних культур. Кельтські монахи, що створили Келлську книгу, вкривали цілі сторінки заплутаними кельтськими вузлами.

Математична теорія вузлів була започаткована Олександром-Теофілом Вандермондом, який довів важливість топологічних ознак для властивостей вузлів. Дослідження вузлів почалися в 19 столітті, Гаусом, який ввів поняття коефіцієнта зачеплення. В 1860х теорія лорда Кельвіна про те, що атоми є вузлами в ефірі, спонукала Пітера Гатрі Тета створити першу класифікацію вузлів. Тет опублікував в 1885 році таблицю вузлів які мають до 10 зачеплень. Це дослідження мотивувало ранніх дослідників вузлів, але несподівано теорія вузлів стала частиною динамічної дисципліни топології. [1]

Перший класифікатор вузлів Пітер Гатрі Тет

Еквівалентність вузлів[ред. | ред. код]

Зліва - тривіальний вузол, і вузол, еквівалентний йому. Але для більш складних вузлів, таких як вузол справа, може бути складніше встановити іх еквівалентність тривіальному.

Вузол будується, починаючи з одномірного сегменту, який подовжується, і, можливо, обертається кілька разів навколо самого себе, а потім поєднується зі своїм власним початком. Ми можемо сказати, що вузол   це ін'єктивна і неперервна функція  і . Топологісти зауважують, що  що вузли, і інші подібні об'єкти, такі як зачеплення і коси є еквівалентними, якщо вони можуть бути переведені один в одного без розривів і самоперетинань. Формально це можна сформулювати так: два вузли,    є еквівалентними, якщо існує гомеоморфізм зі збереженою орієнтацією , такий, що

Базова проблема теорії вузлів - проблема розпізнавання, доведення еквівалентності двох вузлів. Алгоритми для вирішення цієї проблеми були створені Вольфгангом Хакеном в 1960х. Але на жаль, ці алгоритми дуже часоємні. Частковим випадком цієї проблеми є відрізнення тривіального вузла від нетривіального (unknotting problem).

Діаграма вузла[ред. | ред. код]

Зручний спосіб візуалізувати і маніпулювати вузлом полягає в тому, щоб спроектувати вузол на площину, і позначити в точках перетину ліній, яка з них проходить над іншою - таким чином, проекція буде ін'єктивним відображенням вузла. Зазвичай в цих точках лінія, що йде знизу, розривається. [2]

Такі діаграми називають діаграмами вузлів, або діаграмами зачеплень (в залежності від того, що вони репрезентують).

Аналогічно, заплутані поверхні в 4-вимірному просторі можуть бути спроектовані на 3-вимірний простір.

Спрощеною діаграмою вузла називається така діаграма, в якій нема перетинань, що можуть бути прибраними.

Рухи Рейдемейстера[ред. | ред. код]

У 1927 році, працюючи з діаграмами вузлів, Джеймс Александер і Г. Б. Бріггс, і, незалежно від них, Курт Рейдемейстер, показали, що дві діаграми, що належать одному вузлу, можуть бути перетворені одна в іншу послідовністю операцій певного виду[3]. Такі операції називають зараз рухами Рейдемейстера, і їх є три види:

  • Робити перекрут лінії.
  • Накладати одну лінію на іншу.
  • Перенести лінію через точку перетину інших ліній.
Рухи Рейдемейстера
Reidemeister move 1.png Frame left.png Reidemeister move 2.png
Type I Type II
Reidemeister move 3.png
Type III

Інваріанти вузлів[ред. | ред. код]

Докладніше: Інваріант вузла

Інваріантами вузла називаються величини, що є однаковими для будь яких еквівалентних вузлів. Якщо два вузла мають різні значення інваріантів, то ці вузли нееквівалентні. Проте, в загальному випадку, рівність інваріантів не доводить еквівалентності вузлів, бо різні вузли можуть мати деякі з інваріантів однаковими.

"Класичні" інваріанти вузлів включають в себе фундаментальну групу доповнення до вузла і поліном Александера. В кінці XX століття були відкриті такі інваріанти як квантові поліноми, інваріанти Васильєва і гіперболічні інваріанти.


Поліноми вузлів[ред. | ред. код]

Поліномом вузла називають інваріант вузла у формі многочлену, коефіцієнти якого кодують деякі властивості даного вузла.

Перший поліном вузла, поліном Александера, був відкритий Джеймсом Александером у 1923, але інші поліноми були відкриті лише через 60 років.

В 1960х, Джон Конвей запропонував скейн-співвідношення для нової версії полінома Александера, яка називається тепер поліномом Александера-Конвея. Важливість скейн-співвідношень не була зрозумілою до 1980х, коли Воен Джонс відкрив поліном Джонса. Це підштовхнуло до відкриття багатьох інших поліномів, таких як поліномів HOMFLY

Невдовзі після відкриття Джонса, Луіс Кауфман помітив, що поліном Джонса може бути обрахованим в термінах моделі сум і станів, і вивів таким чином дужки Кауфмана, інваріант для обрамленого вузла. Це відкриття показало глибокий зв'язок між теорією вузлів і статистичною механікою.

Приклади поліномів для деяких вузлів:

Форма Александера — Бріґґза Многочлен Александера Многочлен Конвея многочлен Джонса Многочлен HOMFLY
(Тривіальный вузол)
(Трилисник)
(Вісімка)
(Лапчатка)
(Бабин вузол)
(Прямий вузол)

[4] [5] [6] [7] [8] [9]

Скейн-співвіношення[ред. | ред. код]

Скейн-співвіношеннями називається рекурсивний спосіб обраховування поліномів. Вони задають співвідношення між трьома діаграмами вузлів, що відрізняються лише в одній точці - в одній з них лінії не перетинаються, в двох інших одна чи інша лінія знаходиться згори. Їх позначають як наступним чином:

Skein (HOMFLY).svg

Кінцевий результат обрахунків не залежить від того, як саме ми будемо рухатись по вузлу, але важливо притримуватися одного й того ж напрямку весь час.

Багато поліномів вузлів можна задати тим чи іншим скейн-співвідношенням. Наприклад, поліном Джонса задається наступним чином:

А многочлен Конвея, так:

(В обох випадках, значення полінома для тривіального вузла дорівнює одиниці)

Послідовно виражаючи діаграму через більш прості, будь який вузол можна звести до тривіального.[10]

Застосування теорії вузлів[ред. | ред. код]

Деякі автори вважають, що є тісний зв'язок між квантовою теорією і теорією вузлів. Наприклад, рівняння Янга-Бакстера, що використовуються в квантовій механіці і статистичній механіці, є еквівалентними третьому руху Рейдемейстера, а модель Поттса, що описує фазові переходи речовини, має математичні зв'язки з поліномом Джонса.

Інваріанти Васільєва можуть бути використані для побудови біалгебр, схожих на алгебри діаграм Фейнмана.

Ці зв'язки використовуються для топологічного описання квантової теорії. [1]

Примітки[ред. | ред. код]