Модуль Нетер

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Модуль Нетер (нетерів модуль) — модуль M, в якому виконується наступна умова стабілізації зростаючих ланцюгів:

Довільна послідовність підмодулів

стабілізується, тобто починаючи з деякого n:

Легко довести, що це твердження рівносильно тому, що в будь-якій непорожній множині підмодулів M існує максимальний елемент.

Еквівалентне означення[ред. | ред. код]

Модуль M нетерів тоді і тільки тоді, коли будь-який підмодуль М скінченно породжений.

Доведення[ред. | ред. код]

Справді, якщо будь-який підмодуль скінченно породжений, то узявши модуль, що є об'єднанням всіх підмодулів ланцюга маємо, що він породжений, скажемо елементами x1,x2,…, xn. Тоді існує деякий Mk що містить всі ці x і тому рівний об'єднанню всіх Mi. Звідси Mk=Mk+1=Mk+2.

Навпаки, якщо М нетерів і N — його підмодуль, то в множині всіх його скінченно породжених підмодулів N існує максимальний підмодуль . Якщо то узявши і побудувавши модуль N'+Ax (або N'+xA в некомутативному випадку для правого модуля) ми побудуємо більший модуль проти припущення. Відповідно модуль N — скінченно породжений.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Якщо M нетеровий, то будь-який підмодуль і будь-який фактор-модуль M теж є модулями Нетер. Навпаки, якщо підмодуль N і фактор-модуль M/N нетерові, то і сам модуль M є модулем Нетер.
  • Будь-який скінченно породжений модуль над нетеровим кільцем нетеровий (для некомутативних кілець необхідно щоб кільцю, нетеровому зліва, відповідав лівий модуль, аналогічно для правих).

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]