Моти́вне інтегрува́ння — це інтегрування зі значеннями в кільці мотивів, тобто класів еквівалентності алгебричних многовидів.
Мотивне інтегрування було започатковане Концевичем при доведенні гіпотези Батирева.
Нехай X - гладкий комплексний проективний алгебричний многовид Калабі-Яу вимірності n (що для наших потреб означає існування голоморфної n-форми, яка ніде не перетворюється в 0).
Інакше кажучи, n-тий зовнішній степінь голоморфного кодотичного розшарування є тривіальним одновимірним розшаруванням.
За допомогою p-адичного інтегрування Батирев довів, що біраціонально еквівалентні гладкі многовиди Калабі-Яу , мають однакові числа Бетті, .
Концевич довів за допомогою мотивного інтегрування, що такі ж , мають однакові числа Годжа .
Годжева характеристика є функцією з категорії комплексних многовидів (відокремлюваних редукованих схем скінченного типу), де наївне кільце Ґротендіка - абелева група, породжена класами ізоморфізму [X] таких многовидів зі співвідношеннями для замкненого (за Зариським) підмноговиду .
Добуток заданий як .
Клас ізоморфізму прямої позначається .
Нехай - відтинково тривіальне розшарування з шаром Z.
Це означає, що X можна записати як скінченне диз'юнктивне об'єднання локально замкнених підмножин , таких, що є проєкцією.
Тоді в .
Кажемо, що є d-вимірним, , якщо цей елемент представляється як , , , і не існує представлення з для всіх i.
За означенням .
Вимірність поширюється на локалізацію вимогою .
Функція є неархімедовою нормою на .
Поповнення у цій нормі є кільцем, у якому приймають значення мотивні міри і мотивні інтеграли.
Ряд з елементами збігається в при .
Простір, по якому відбувається інтегрування, це простір дуг, або -струменів для даного гладкого комплексного проективного многовида X вимірності n.
Схема m-струменів визначається природною бієкцією
для всіх -схем Z.
В дійсності, є гладким многовидом і -розшаруванням над X, зокрема, .
Точніше, є -розшаруванням над .
Простір дуг, або -струменів, , задовольняє природній бієкції
Підмножина називається циліндричною, якщо для деякої конструктивної підмножини , де - канонічне відображення.
Алгебра конструктивних підмножин схеми - це найменша алгебра, що містить підмножини, замкнені в топології Зариського.
Об'ємом (мірою) циліндричної множини A назвемо елемент .
Він не залежить від вибору m: , , оскільки - локально тривіальне -розшарування.
Клас циліндричних множин поширюється до класу вимірних множин.
Серед вимірних функцій міститься функція визначена порядком дотичності дуги до підсхеми , визначеної пучком ідеалів .
Отже, функція співставляє дузі супремум поміж всіх , таких, що .
Тоді для є циліндричною множиною.
Якщо підмноговид Y ніде не щільний в X, то є вимірною множиною міри 0.
Мотивний інтеграл функції визначається як
Наприклад, для і .
Для ефективного дивізора () з носієм з нормальними перетинами і гладкими маємо
де .
Якщо - власний біраціональний морфізм гладких -схем і D - ефективний дивізор на X, то
(формула Концевича заміни змінних в мотивному інтегралі).
Відносний канонічний дивізор визначається ідеалом Якобі для f.
Ця формула застосована до відображень і дозволяє зробити висновок, що біраціонально еквівалентні , мають однаковий об'єм , а, отже, і однакові числа Годжа.
В арифметичному підході мотивний об'єм співставляється не множинам, а формулам логіки з мови Денефа-Паса, що описує кільця дискретного нормування.
На цьому шляху вдається обчислити деякі p-адичні інтеграли, які не піддаються прямому обчисленню.
Денефом та Лезером доведена теорема про універсальність мотивного об'єму: нехай - формула для кілець дискретного нормування; K - локально компактне неархімедове поле з кільцем цілих та полем лишків , ; dx - міра Хаара на , нормована умовою, що міра - одиниця; - мотивний об'єм (збіжна сума многовидів над ).
Якщо відкинути скінченне число простих p, то у решті випадків p-адичний об'єм може бути обчислений через мотивний об'єм як
.
- Енциклопедія Сучасної України