Алгебричний многовид

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В алгебричній геометрії алгебричний многовидмножина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.

Визначення[ред.ред. код]

Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди.

Афінні многовиди[ред.ред. код]

Нехай K\, є алгебрично замкнуте поле і \mathbf A^n n-мірний афінний простір над  K\,. Многочлени  F \in K [x_1 ,..., x_n] можна розглядати як функції з \mathbf A^n, зі значеннями в K\,. Для кожного S \subset k[x_1,...,x_n] можна визначити підмножину  \mathbf A^n , в якій значення всіх поліномів з множини  S\, рівне нулю:

Z(S)=\{x\in\mathbf A^n|f(x)=0 \quad \forall f\in S\}

Підмножина V\,, множини  \mathbf A^n називається афінною алгебричною множиною, якщо V = Z(S)\, для деякої  S\,. Непорожня афінна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто афінними многовидами.

Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.

Для V \subset \mathbf A^n нехай I(V)\,ідеал многочленів, значення яких на множині V\, рівні нулю.

I(V)=\{f\in k[x_1,...,x_n]|f(x)=0 \quad \forall x \in V\}

Для будь-якої алгебричної множини  V\, координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.

Проективні многовиди[ред.ред. код]

Нехай \mathbf P^n — n-мірний проективний простір над полем  K\,. Однорідний многочлен K[x_0 ,..., x_n]\,, можна розглядати як функцію \mathbf P^n , зі значеннями в K\,. Для будь-якого  S \subset \mathbf P^n аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:

Z(S)=\{x\in\mathbf P^n|f(x)=0 \quad \forall f \in S\}

Підмножина  V , множини \mathbf P^n називається проективною алгебричною множиною, якщо  V = Z(S)\, для деякої  S\,. Непорожня проективна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проективні алгебричні множини називаються проективними алгебричними многовидами, або просто проективними многовидами.

Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.

Для V \subset \mathbf P^n Нехай I(V)\, — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині  V\, рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебричної множини V\, фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.

Основні властивості[ред.ред. код]

  • Афінна алгебрична множина V\, є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли I(V)\, є простим ідеалом.
  • Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій

Література[ред.ред. код]