Нерівність Гарнака

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Нерівність Гарнака — нерівність, що оцінює значення у двох близьких точках додатної гармонічної функції. Названа на честь німецького математика Акселя Гарнака. Нерівність Гарнака є досить сильним результатом з якого, зокрема, випливають: сильний принцип максимуму, теорема Гарнака про послідовності гармонічних функцій теореми про компактності сімейств гармонічих функцій, теорема Ліувіля.

Твердження нерівності[ред. | ред. код]

Нехай f - функція визначена у кулі в Rn з радіусом R і центром в точці x0. Якщо f є неперервною в замиканні кулі і гармонійною у відкритій кулі, тоді для кожної точки x для якої |x − x0| = r < R,

У випадку R2 (n = 2) нерівність можна записати:

Для загальних областей в нерівність можна подати в такому виді: якщо є обмеженою областю для якої , тоді є константа така що

для кожної двічі диференційовної, гармонічної і невід'ємної функції . Константа не залежить від , а лише від областей і .

Доведення нерівності Гарнака в кулі[ред. | ред. код]

Згідно інтегральної формули Пуассона

де ωn − 1 позначає площу сфери радіуса 1 в Rn і r = |xx0|.

Оскільки

для виразу під інтегралом виконуються нерівності

Підставивши ці нерівності в інтеграл вище і враховуючи, що середнє значення гармонічної функції на сфері рівне значенню функції в центрі сфери:

одержуємо нерівність Гарнака.

Узагальнення для еліптичних рівнянь[ред. | ред. код]

Нерівність Гарнака узагальнюється на невід'ємні розв'язки широкого класу лінійних еліптичних рівнянь виду

з рівномірно додатно означеною матрицею

де — числа, — будь-який n-вимірний вектор, . При цьому стала C нерівності Гарнака залежить тільки від , деяких норм молодших коефіцієнтів оператора і відстані між границями і .

Узагальнення для параболічних рівнянь[ред. | ред. код]

Для невід'ємних розв'язків рівномірно параболічних рівнянь виду

теж існує аналог нерівності Гарнака. Тут коефіцієнти матриці задовольняють ті ж умови, що й вище.

У цьому випадку можлива тільки одностороння нерівність

для точок , що лежать всередині параболоїда

з вершиною в точці .

При цьому залежить від величин деяких норм молодших коефіцієнтів оператора і від відстаней між границею параболоїда і границею області, в якій

Якщо, наприклад, в циліндрі

відстань між і є більшою або рівною d> 0 і d є достатньо малим, то в виконується нерівність:

Зокрема, якщо в і компакти вкладені в , і до того ж:

то

де

Приклад функції

що є розв'язком рівняння теплопровідності при будь-яких показує неможливість в параболічному випадку двосторонніх оцінок.

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]