Теорема Ліувіля (комплексний аналіз)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У комплексному аналізі теорема Ліувіля стверджує, що якщо ціла функція комплексних змінних є обмеженою, тобто

то константа.

Доведення (для випадку )[ред.ред. код]

Нехай обмежена на комплексній площині, тобто

Скористаємося інтегральною формулою Коші для похідної

Де коло радіуса , що містить точку .

Маємо

Звідси, зважаючи що інтегральна формула Коші справедлива для довільного контура, маємо

Тоді і, відповідно, є константою. Теорема доведена.

Узагальнення[ред.ред. код]

  • Якщо ціла функція в і для деякого ,
для достатньо великих |z|, то многочлен від змінних степеня не вище .
Доведення для однієї змінної.Визначимо:
Оскільки f є цілою функцією, то g теж є цілою, і, зважаючи на обмеження на f, одержуємо
для достатньо великих |z|.
Якщо припустити, що g є многочленом степеня не більше n-1, то f є многочленом степеня не більше n. Для завершення доведення достатньо використати звичайну теорему Ліувіля і метод математичної індукції.
то гармонічний многочлен від цих змінних.

Твердження для гармонічних функцій[ред.ред. код]

Гармонічна функція на всій площині не може бути обмеженою зверху або знизу, якщо вона не стала.

Оскільки дійсна і уявна частини цілої комплексної функції є гармонічними функціями, дане твердження є наслідком твердження теореми для цілих функцій. Можна також дати доведення за допомогою інтеграла Пуассона.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай гармонічна функція на всій площині . Тоді функція є також гармонічною на всій площині.
Позначимо через довільну точку площини, — відстань від точки до початку координат, і проведемо круг з центром у початку координат такого радіуса , щоб точка була внутрішньою для цього круга (тобто ). В силу гармонічності функції зобразимо її в крузі за допомогою інтеграла Пуассона :

тоді отримаємо

Перейшовши до границі, коли , матимемо

тобто .

В силу довільності точки звідси випливає, що

стала на всій площині.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • М.О.Перестюк,В.В.Маринець (2001). Теорія рівнянь математичної фізики. Київ: Либідь. 
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372