Гармонічна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція визначена на називається гармонічною в цій області, якщо f є двічі неперервно диференційовною і є розв’язком рівняння Лапласа:

Для позначення цього використовуються позначення або

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо D — скінченна область і гармонічна функція тоді:
  • Теорема про середнє значення: якщо f(x) — гармонічна функція у кулі B(x,r) радіуса r з центром і то її значення в центрі кулі дорівнює середньому арифметичному її значень на сфері S(x0,r), тобто
де — об'єм одиничної кулі в .
У припущенні неперервності f(x) ця властивість може бути прийнята як визначення гармонічної функції.
  • Принцип екстремуму: якщо D — область в , що не містить усередині точки f(x) — гармонічна функція у D, , то ні в якій точці функція f(x) не може досягати локального екстремуму, тобто в будь-якому околі V(x0) кожної точки знайдеться точка , у якій , і знайдеться точка , у якій
Якщо, крім того, і , то найбільше і найменше значення f(x) в замкнутій області досягаються тільки в точках границі . Відповідно, якщо на , то на всій множині .
  • Якщо f(x) — гармонічна функція у всьому просторі 2 обмежена зверху або знизу, то f(x)= const.(Теорема Ліувіля)
  • Якщо f(x) — гармонічна функція у околі точки то f(x) розкладається в цьому околі у степеневий ряд за змінними тобто довільна гармонічна функція є аналітичною функцією і має часткові похідні всіх порядків, які в свою чергу є гармонічними функціями.
  • Властивість єдиності: якщо f(x) — гармонічна функція у області і f(x) \equiv 0 в деякому n-вимірному околі довільної точки то в D.
Якщо f(x) — аналітична функція дійсних змінних у області і якщо в деякому n-вимірному околі точки функція f(x) є гармонічною то вона є гармонічною в усій області D.
  • Принцип симетрії: Нехай границя області містить відкриту в площині xn=0 множину G, і f(x) — гармонічна функція у D і f(x) = 0 і неперервна усюди на G. Якщо — область, симетрична з D відносно гіперплощини xn=0 тоді f(x) гармонійно продовжується в область за формулою:
  • Перша теорема Гарнака: якщо послідовність гармонічних функцій у обмеженій області D, неперервних в замкнутій області , є рівномірно збіжною на границі , то вона є рівномірно збіжною у D, причому гранична функція є гармонічною функцією у D.
  • Друга теорема Гарнака: якщо послідовність гармонічних функцій в області D, є монотонною і збігається принаймні в одній точці , то вона збігається усюди в D і гранична функція є гармонічною.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
  • Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
  • Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950;
  • Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;
  • Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey. Harmonic Function Theory Springer, ISBN 978-0-387-95218-5