Додатноозначена матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дода́тно ви́значена ма́триця — частковий випадок ермітової матриці, є аналогом додатних чисел, якщо розглядати ермітові матриці як узагальнення дійсних чисел.

Поняття додатно визначеної матриці тісно пов'язане з поняттям дода́тно ви́значеної квадратичної форми.

Визначення[ред.ред. код]

Ермітова матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє одну з наступних еквівалентних умов:

  1.   (для ермітових матриць  — завжди дійсне число).
  2. Всі власні значення є додатними числами.
  3. Задовольняє критерій Сільвестра.
  4. Сесквілінійна форма (білінійна форма для випадку дійсних чисел)
задовольняє всім вимогам ермітового скалярного добутку (простого скалярного добутку для випадку дійсних чисел).

Невід'ємно визначена і від'ємно визначена матриці[ред.ред. код]

  • Ермітова матриця називається невід'є́мно ви́значеною якщо
Всі власні значення невід'ємно визначені матриці — невід'ємні числа.
  • Ермітова матриця називається від'є́мно ви́значеною якщо
Всі власні значення від'ємно визначені матриці — від'ємні числа.

Властивості[ред.ред. код]

  • Всі додатно визначені матриці мають повний ранг, їх визначник не рівний нулю і в них існує обернена матриця.
  • Для будь-якої матриці , матриці  — будуть невід'ємно визначені та матимуть одинакові власні значення.
  • Якщо  — додатно визначені матриці і  — додатне число, тоді матриці
 — також є додатно визначеними матрицями.
І якщо переставними), тоді  — теж є додатно визначеною.
  • Якщо  — додатно визначена матриця, тоді і тільки тоді існує єдина матриця B > 0, що B²=M.
Хоча можуть існувати не додатно визначені матриці B, що виконуватиметься B²=M.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]



Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.