Нестійкість Релея — Тейлора

Розвиток нестабільності Релея — Тейлора.

Нестійкість Релея — Тейлора  — виникає між двома контактуючими суцільними середовищами різної щільності, коли більш важка рідина штовхає більш легку. Прикладом такої нестійкості може служити нестійкість краплі води на поверхні олії — вода буде намагатися проникнути крізь олію.

Основним параметром, що визначає швидкість розвитку цієї нестабільності є число Атвуда.

Аналітичний опис

Задача про нестійкості Релея — Тейлора має аналітичне рішення в рамках лінійної теорії стійкості.

Нехай два протяжних плоских горизонтальних шару рідини розташовані в полі тяжіння ${\vec {g}}$ один над одним, причому більш важка рідина 1 знаходиться вгорі (на ілюстрації — синій колір), щільності рідин $\rho _{1},\rho _{2}$. Верхня і нижня межі — тверді. Для простоти зручно користуватися моделлю нев'язкої нестисливої рідини, тоді система описується рівнянням Ейлера:

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P+{\vec {g}},$

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0.$

Надалі компоненти швидкості визначаються як ${\vec {v}}=\left\{u,v,w\right\}$. Цілком очевидно, що рівноважне рішення (${\vec {v}}=0$) задовольняє моделі, при цьому з рівняння Ейлера для тиску виходить наступне:

${\frac {\partial P}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=-\rho g$

Звідки визначається рівноважний розподіл тиску (відомий результат для тиску стовпа рідини):

$P_{0}=-\rho gz.$

Внесемо в рівноважний стан малі збурення. Нехай швидкість ${\vec {v}}$ настільки мала, що можна знехтувати нелінійним доданком $\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}$ в рівнянні Ейлера, а тиск має вигляд $P=P_{0}+P'$, де $P'\ll P_{0}$. Тоді отримаємо лінійну систему рівнянь для малих збурень (далі штрих у тиску опущений):

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P,$

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0.$

Граничні умови задаються виходячи з міркувань рівності z-компонент швидкості рідин 1 і 2 на межі розділу і наявності поверхневого натягу. На верхній і нижній межах, тому що рідина ідеальна, працюють умови непротікання. Зручно прийняти координату кордону розділу в рівновазі за 0. На ній виконується кінематична умова

$\quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=w,$

і динамічна умова

$\left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =\sigma \Delta \zeta .$

Умова непротікання верхньої і нижньої меж:

$z=\pm h:\quad w=0,$

де $\ zeta$ — величина відхилення кордону від незбуреної, $\sigma$ — коефіцієнт поверхневого натягу. Отримана завдання для збурень легко вирішується. Припустимо, що збурення мають вигляд:

${\vec {v}},P,\zeta \sim e^{\lambda t}e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\right)},$

де $\lambda$ — швидкість росту (інкремент) обурення, $k_{x},k_{y}$ — компоненти хвильового вектора обурення кордону.

З рівняння Ейлера виражається $w$:

$\lambda w=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial z}},$

а умова $\operatorname {div} {\vec {v}}=0$ дає рівняння Лапласа для тиску. У результаті, швидкість течії із завдання вдається виключити. Залишається лінійне рівняння:

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial z^{2}}}-k^{2}P=0,$

з граничними умовами:

$z=0:\quad \left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =-\sigma k^{2}\zeta ,$

$z=0:\quad {\frac {1}{\rho _{1}}}{\frac {\partial P_{1}}{\partial z}}-{\frac {1}{\rho _{2}}}{\frac {\partial P_{2}}{\partial z}}=0,$

$z=\pm h:\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=0.$

Рішення рівняння Лапласа для тиску:

$P_{1}=C_{1}\cosh k\left(h-z\right),$

$P_{2}=C_{2}\cosh k\left(h+z\right).$

Константи $C_{1},C_{2}$ визначаються з кінематичного умови. Динамічне умова дає зв'язок між інкремент і модулем хвильового вектора

$\lambda ^{2}={\frac {\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g-\sigma k^{2}}{\rho _{1}+\rho _{2}}}k\tanh kh,$

звідки безпосередньо випливає вираз для критичного хвильового числа збурень (при $\lambda =0$):

$k_{c}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{\sigma }}$.

Якщо довжина хвилі більша за критичну, то обурення кордону будуть наростати.

У граничному випадку нескінченно глибоких шарів ($kh\gg 1$) найбільша швидкість росту збурень досягається при хвильовому числі

$k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{3\sigma }}$.

У тонких шарах ($kh\ll 1$):

$k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{2\sigma }}$.

Література

• Лабунцов Д. А., Ягов В. В. Механіка двофазних систем. / / М.: Видавництво МЕІ, 2000. — С. 143—146.
• Векштейн Г. Є. Фізика суцільних середовищ в завдання. / / М.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. — С. 109—111.

Посилання

• http://www.astronet.ru/db/msg/1188634