Нестійкість Релея — Тейлора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розвиток нестабільності Релея - Тейлора.

Нестійкість Релея - Тейлора - виникає між двома контактуючими суцільними середовищами різної щільності, коли більш важка рідина штовхає більш легку. Прикладом такої нестійкості може служити нестійкість краплі води на поверхні олії - вода буде намагатися проникнути крізь олію.

Основним параметром, що визначає швидкість розвитку цієї нестабільності є число Атвуда.

Аналітичний опис[ред.ред. код]

Задача про нестійкості Релея - Тейлора має аналітичне рішення в рамках лінійної теорії стійкості.

Нехай два протяжних плоских горизонтальних шару рідини розташовані в полі тяжіння один над одним, причому більш важка рідина 1 знаходиться вгорі (на ілюстрації - синій колір), щільності рідин . Верхня і нижня межі - тверді. Для простоти зручно користуватися моделлю нев'язкої нестисливої рідини, тоді система описується рівнянням Ейлера:

Надалі компоненти швидкості визначаються як . Цілком очевидно, що рівноважне рішення () задовольняє моделі, при цьому з рівняння Ейлера для тиску виходить наступне:

Звідки визначається рівноважний розподіл тиску (відомий результат для тиску стовпа рідини):

Внесемо в рівноважний стан малі збурення. Нехай швидкість настільки мала, що можна знехтувати нелінійним доданком в рівнянні Ейлера, а тиск має вигляд , де . Тоді отримаємо лінійну систему рівнянь для малих збурень (далі штрих у тиску опущений):

Граничні умови задаються виходячи з міркувань рівності z-компонент швидкості рідин 1 і 2 на межі розділу і наявності поверхневого натягу. На верхній і нижній межах, тому що рідина ідеальна, працюють умови непротікання. Зручно прийняти координату кордону розділу в рівновазі за 0. На ній виконується кінематична умова

і динамічна умова

Умова непротікання верхньої і нижньої меж:

де - величина відхилення кордону від незбуреної, - коефіцієнт поверхневого натягу. Отримана завдання для збурень легко вирішується. Припустимо, що збурення мають вигляд:

де - швидкість росту (інкремент) обурення, - компоненти хвильового вектора обурення кордону.

З рівняння Ейлера виражається :

а умова дає рівняння Лапласа для тиску. У результаті, швидкість течії із завдання вдається виключити. Залишається лінійне рівняння:

з граничними умовами:

Рішення рівняння Лапласа для тиску:

Константи визначаються з кінематичного умови. Динамічне умова дає зв'язок між інкремент і модулем хвильового вектора


звідки безпосередньо випливає вираз для критичного хвильового числа збурень (при ):

.

Якщо довжина хвилі більша за критичну, то обурення кордону будуть наростати.

У граничному випадку нескінченно глибоких шарів () найбільша швидкість росту збурень досягається при хвильовому числі

.

У тонких шарах ():

.

Література[ред.ред. код]

  • Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механіка двофазних систем. / / М.: Видавництво МЕІ, 2000. - С. 143-146.
  • Векштейн Г.Є. Фізика суцільних середовищ в завдання. / / М.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. - С. 109-111.

Посилання[ред.ред. код]