Ортонормований базис

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис.

Загальне твердження[ред.ред. код]

В кожному гільбертовому просторі , ортонормована система векторів утворює ортонормований базис тоді і тільки тоді, коли вона задовільняє наступним умовам[1]:

  1. Довільний вектор може бути записано у вигляді:
    , де (k = 1, 2, …)
  2. Для будь якого вектора
    (рівність Персеваля)
  3. Для довільної пари векторів та
  4. Ортонормована система u1, u2, … не міститься в жодній іншій ортонормованій системі простору . Для довільного вектора із (uk, a) = 0 (k = 1, 2, …) випливає, що a = 0.

З кожної із цих чотирьох умов випливають три інших.

Примітки[ред.ред. код]

Звернемо увагу на те, що якщо a та a' — два вектори з одними і тими ж координатами âk то ǁaa' ǁ = 0 (теорема єдиності).

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. Корн Г., Корн Т. (1984). 14.7-4. Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 

Дивіться також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.