Унітарний простір

Векторний простір ${\mathfrak {L}}$ над полем $\mathbb {K}$ називається унітарним, якщо кожній парі векторів $(\mathbf {a,b} )$ з ${\mathfrak {L}}$, взятих у визначеному порядку, поставлено у відповідність деяке число з $\mathbb {K}$, що називається скалярним добутком $\langle \mathbf {a|b} \rangle$ вектора $\mathbf {a}$ на вектор $\mathbf {b}$ та має такі властивості:

1. $\langle \mathbf {a|b} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {b|a} \rangle }}$;
2. $\langle \alpha \mathbf {a|b} \rangle =\alpha \langle \mathbf {a|b} \rangle$ для довільних $\alpha \in \mathbb {K}$;
3. $\langle \mathbf {a+b|c} \rangle =\langle \mathbf {a|c} \rangle +\langle \mathbf {b|c} \rangle$;
4. $\langle \mathbf {a|a} \rangle \geq 0,\quad \langle \mathbf {a|a} \rangle =0\iff \mathbf {a} =\mathbf {o}$.

Аби розрізняти унітарний та евклідів простір, для скалярного добутку в унітарному просторі часто вживаються кутові дужки ("брекети"): $\left\langle \ \right\rangle$.

Поняття унітарного простору є аналогом евклідового простору.

Унітарні простори зазвичай скінченновимірні. У нескінченновимірному випадку розглядаються натомість гільбертові простори. Поняття ермітового простору припускає алгебричне узагальнення, яке застосовується у теорії груп, дискретній математиці і теорії кодування.

Приклади унітарного простору

Простір $n$-вимірних стовпчиків $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbf {a} ={\begin{Vmatrix}\zeta _{1}\\\zeta _{2}\\...\\\zeta _{n}\end{Vmatrix}},\;\;\mathbf {b} ={\begin{Vmatrix}\eta _{1}\\\eta _{2}\\...\\\eta _{n}\end{Vmatrix}},$ де $\zeta _{i},\eta _{i}\!$ - комплексні числа, $i=1,...,n$.

Скалярний добуток $\langle \mathbf {a|b} \rangle =\sum _{i=1}^{n}\zeta _{i}{\overline {\eta _{i}}}$.

Виявляється, що будь-який $n$-вимірний унітарний простір $H\!$ є ізоморфним до $\mathbb {C} ^{n}$. Цей ізоморфізм досягається обранням ортонормального базису в $H\!.$

Узагальнення

Унітарний простір є частковим випадком гільбертового простору, а саме, він є комплексним гільбертовим простором.

І саме така назва є поширенішою в сучасній літературі.

В сучасній абстрактній алгебрі розглядаються векторні простори над довільними полями.

Припустимо, що на полі $E$ задана нетривіальна інволюція, тобто автоморфізм порядка $2$: $\sigma \colon E\to E,\;\sigma ^{2}=Id,\;\sigma \neq Id,$ з інваріантним підполем $F=E^{\sigma }.$ Якщо уявити собі, що поле $E$ аналогічне до поля комплексних чисел, інволюція $\sigma$ — це комплексне спряження, тоді поле $F$ аналогічне до поля дійсних чисел. Можна розглянути векторний простір $V$ над $E$ з сесквілінійною невиродженною ермітовою $E$-значною формою

$V\times V\to E,\quad u,v\mapsto (u,v),\quad (v,u)=(u,v)^{\sigma }$.

Такий простір називається псевдоермітовим векторним простором над $E$. Якщо на додаток $E\subseteq \mathbb {C} ,\sigma$ є звуженням комплексного спряження на $E$ і ермітова форма позитивно-визначена, тобто $(v,v)\in F=E^{\sigma }\subseteq \mathbb {R}$ — додатне число для будь-якого ненульового $v\in V,$ то $V$ називається ермітовим векторним простором над $E$. Ще більше узагальнення можна отримати, якщо замінити поле $E$ на (некомутативну) алгебру з інволюцією $D$ над $E$ і розглянути лівий $D$-модуль замість векторного простору $V.$

Викладена вище конструкція використовується у теорії алгебраїчних груп для винаходження аналогів комплексної унітарної групи над полем $E.$ А саме, слід розглянути групу ізометрій (псевдо)ермітового простору $V,$ тобто множину обертованих лінійних перетвореннь $g:V\to V,$ які не змінюють форму, тобто виконується $(gu,gv)=(u,v)$ для будь-яких $u,v\in V.$ У такий спосіб будується сімейство близьких до простих алгебраїчних груп над полем $E.$ Зокрема, для скінченого поля $E$ отримуємо одне з нескінчених сімейств скінчених простих груп. Цікаво відзначити, що ця нібито абстрактна конструкція має несподіванне застосування у дуже прикладній теорії кодування, в контексті алгебро-геометричних кодів. Різноманітні геометричні об'єкти пов'язані з ермітовими просторами над скінченими полями викликають неабиякий інтерес у дискретній математиці.