Рівняння Максвелла

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

'Рівняння Максвелла' - система рівнянь в диференціальної або інтегральної формі, що описують електромагнітне поле і його зв'язок з електричними зарядами і струмами в вакуум е і суцільних середовищах. Разом з виразом для сили Лоренца, що задає міру впливу електромагнітного поля на заряджені частинки, утворюють повну систему рівнянь класичної електродинаміки, яку іноді називають рівняннями Максвелла - Лоренца. Рівняння, сформульовані Джеймсом Клерком Максвеллом на основі накопичених до середини XIX століття експериментальних результатів, зіграли ключову роль у розвитку уявлень теоретичної фізики і зробили сильний, часто вирішальне, вплив не тільки на все галузі фізики, безпосередньо пов'язані з електромагнетизм ом, але і на багато що виникли згодом фундаментальні теорії, предмет яких не зводився до електромагнетизму (одним з найяскравіших прикладів тут може служити спеціальна теорія відносності).

Історія[ред.ред. код]

Джеймс Клерк Максвелл

Рівняння, сформульовані Джеймсом Клерком Максвеллом, виникли на основі ряду важливих експериментальних відкриттів, які були зроблені на початку XIX століття. У 1820 році Ганс Християн Ерстед виявив [1], що пропускається через провід гальванічний струм змушує відхилятися магнітну стрілку компаса. Це відкриття привернуло широку увагу вчених того часу. У тому ж 1820 Біо і Савар експериментально знайшли вираз [2] для породжується струмом магнітної індукції (закон Біо - Савара), і Андре Марі Ампер виявив, що взаємодія на відстані виникає також між двома провідниками, за якими пропускається струм. Ампер ввів термін «електродинамічний» і висунув гіпотезу, що природний магнетизм пов'язаний з існуванням в магніті кругових струмів [3]. Вплив струму на магніт, виявлене Ерстед, призвело Майкла Фарадея до ідеї про те, що повинно існувати зворотний вплив магніту на струми. Після тривалих експериментів, в 1831 році, Фарадей відкрив, що переміщається біля провідника магніт породжує в провіднику електричний струм. Це явище було названо електромагнітної індукції. Фарадей ввів поняття «поля сил» - деякої середовища, що знаходиться між зарядами і струмами. Його міркування носили якісний характер, однак вони зробили величезний вплив на дослідження Максвелла.

Після відкриттів Фарадея стало ясно, що старі моделі електромагнетизму (Ампер, Пуассон та ін.) Неповні. Незабаром з'явилася теорія Вебера, заснована на дальнодействії. Проте до цього моменту вся фізика, крім теорії тяжіння, мала справу лише з блізкодейственнимі силами (оптика, термодинаміка, механіка суцільних середовищ і ін.). Гаусс, Ріман і ряд інших вчених висловлювали припущення, що світло має електромагнітну природу, так що теорія електромагнітних явищ теж повинна бути блізкодейственной. Цей принцип став суттєвою особливістю теорії Максвелла.

відомі експерименти, Максвелл отримав систему рівнянь для електричного і магнітного полів. У 1855 році в своїй найпершій статті «Про фарадеевих силових лініях» [6 ( «On Faraday's Lines of Force» [7]) він вперше записав в диференціальної формі систему рівнянь електродинаміки, але не вводячи ще струм зміщення. Така система рівнянь описувала всі відомі на той час експериментальні дані, але не дозволяла зв'язати між собою заряди і струми і передбачити електромагнітні хвилі [8]. Вперше струм зміщення був введений Максвеллом в роботі «Про фізичні силові лінії» [9] ( «On Physical Lines of Force» [10]), що складається з чотирьох частин і опублікованій в 1861-1862 роках. Узагальнюючи закон Ампера, Максвелл вводить струм зміщення, ймовірно, щоб зв'язати струми і заряди рівнянням безперервності, яке вже було відомо для інших фізичних величин [8]. Отже, в цій статті фактично була завершена формулювання повної системи рівнянь електродинаміки. У статті 1864 року «Динамічна теорія електромагнітного поля» [11] ( «A dynamical theory of the electromagnetic field» [12]) розглянута сформульована раніше система рівнянь з 20 скалярних рівнянь для 20 скалярних невідомих. У цій статті Максвелл вперше сформулював поняття електромагнітного поля як фізичної реальності, яка має власну енергію і кінцеве час поширення, визначальне запізнюється характер електромагнітної взаємодії [8]. Виявилося, що не тільки струм, але і змінюється з часом електричне поле (струм зміщення) породжує магнітне поле. У свою чергу, в силу закону Фарадея, змінюється магнітне поле знову породжує електричне. В результаті, в порожньому просторі може поширюватися електромагнітна хвиля. З рівнянь Максвелла випливало, що її швидкість дорівнює швидкості світла, тому Максвелл дійшов висновку про електромагнітну природу світла.

Частина фізиків виступила проти теорії Максвелла (особливо багато заперечень викликала концепція струму зміщення). Гельмгольц запропонував свою теорію, компромісну по відношенню до моделей Вебера і Максвелла, і доручив своєму учневі Генріху Герцу провести її експериментальну перевірку. Однак досліди Герца однозначно підтвердили правоту Максвелла.

Максвелл не використав векторних позначень і записував свої рівняння в досить громіздкому компонентному вигляді. У своєму трактаті [13] він, крім того, частково використовував кватернионами формулювання. Сучасна форма рівнянь Максвелла з'явилася близько 1884 роки після робіт Хевисайда, Герца і Гіббса. Вони не тільки переписали систему Максвелла в векторному вигляді, але і симметризовавший її, переформулювавши в термінах поля, позбувшись від електричного і магнітного потенціалів, що грали в теорії Максвелла істотну роль, оскільки вважали, що ці функції є лише непотрібними допоміжними математичними абстракціями [14]. Цікаво, що сучасна фізика підтримує Максвелла, але не поділяє негативне ставлення його ранніх послідовників до потенціалом. Електромагнітний потенціал відіграє важливу роль в квантовій фізиці і проявляється як фізично вимірювана величина в деяких експериментах, наприклад, в ефекті Ааронового - Бома [15].

Система рівнянь в формулюванні Герца і Хевисайда деякий час називалася рівняннями Герца - Хевісайда [16]. Ейнштейн в класичній статті «До електродинаміки рухомих тіл» [17] назвав їх рівняннями Максвелла - Герца. Іноді в літературі зустрічається також назва рівняння Максвелла - Хевісайда [18]. Рівняння Максвелла зіграли важливу роль при виникненні спеціальної теорії відносності (СТО). Джозеф Лармор (1900 рік) [19] і незалежно від нього Хенрік Лоренц (1904 рік) [20] знайшли перетворення координат, часу і електромагнітних полів, які залишають рівняння Максвелла інваріантними при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої. Ці перетворення відрізнялися від перетворень Галілея класичної механіки і, з подачі Анрі Пуанкаре [21], стали називатися перетвореннями Лоренца. Вони стали математичним фундаментом спеціальної теорії відносності.

Поширення електромагнітних хвиль зі швидкістю світла спочатку інтерпретувалася як обурення певної середовища, так званого ефіру [22]. Були зроблені численні спроби (см.історіческій огляд) виявити рух Землі щодо ефіру, проте вони незмінно давали негативний результат. [23] Тому Анрі Пуанкаре висловив гіпотезу про принципову неможливість виявити подібний рух (принцип відносності). Йому ж належить постулат про незалежність швидкості світла від швидкості його джерела і висновок (разом з Лоренцем), виходячи з сформульованого так принципу відносності, точного виду перетворень Лоренца (при цьому були показані і групові властивості цих перетворень). Ці дві гіпотези (постулату) лягли і в основу статті Альберта Ейнштейна (1905 рік) [17]. З їх допомогою він також вивів перетворення Лоренца і затвердив їх загальнофізичної сенс, особливо підкресливши можливість їх застосування для переходу з будь-якої системи відліку в будь-яку іншу інерційну. Ця робота фактично ознаменувала собою побудова спеціальної теорії відносності. В СТО перетворення Лоренца відображають загальні властивості простору і часу, а модель ефіру виявляється непотрібною. Електромагнітні поля є самостійними об'єктами, існуючими нарівні з матеріальними частками.

Класична електродинаміка, заснована на рівняннях Максвелла, лежить в основі численних додатків електро- і радіотехніки, СВЧ і оптики. До теперішнього часу не було виявлено жодного ефекту, який вимагав би видозміни рівнянь. Вони виявляються застосовні і в квантовій механіці, коли розглядається рух, наприклад, заряджених частинок в зовнішніх електромагнітних полях. Тому рівняння Максвелла є основою мікроскопічного опису електромагнітних властивостей речовини.

Рівняння Максвелла затребувані також в астрофізиці і космології, оскільки багато планет і зірок мають магнітним полем. Магнітне поле визначає, зокрема, властивості таких об'єктів, як пульсари і квазари.

На сучасному рівні розуміння всі фундаментальні частинки є квантовими возбуждениями ( «квантами») різних полів. Наприклад, фотон - це квант електромагнітного поля, а електрон - квант спінорного поля [24]. Тому польовий підхід, запропонований Фарадеєм і істотно розвинений Максвеллом, є основою сучасної фізики фундаментальних частинок, в тому числі її стандартної моделі.

Історично дещо раніше він зіграв важливу роль в появі квантової механіки в формулюванні Шредінгера і взагалі відкритті квантових рівнянь, що описують рух частинок, в тому числі і релятивістських (рівняння Клейна - Гордона, рівняння Дірака), хоча спочатку аналогія з рівняннями Максвелла тут бачилася швидше лише в загальній ідеї, тоді як згодом виявилося, що вона може бути зрозуміла як більш конкретна і детальна (як це описано вище).

Також польовий підхід, в цілому висхідний до Фарадея і Максвеллові, став центральним у теорії гравітації (включаючи ОТО).

Запис рівнянь Максвелла і системи одиниць[ред.ред. код]

Запис більшості рівнянь у фізиці не залежить від вибору системи одиниць. Однак в електродинаміки це не так. Залежно від вибору системи одиниць в рівняннях Максвелла виникають різні коефіцієнти (константи). Міжнародна система одиниць (СІ) є стандартом в техніці і викладанні, однак суперечки серед фізиків про її достоїнства і недоліки в порівнянні з конкуруючою симетричною гаусом системою одиниць (СГС) не вщухають [25]. Перевага системи СГС в електродинаміки полягає в тому, що всі поля в ній мають одну розмірність, а рівняння, на думку багатьох вчених, записуються простіше і природніше [26]. Тому СГС продовжує застосовуватися в наукових публікаціях з електродинаміки і в викладанні теоретичної фізики, наприклад, в курсі теоретичної фізики Ландау і Ліфшиця. Однак для практичних застосувань вводяться в СГС одиниці вимірювань, багато з яких неіменованого і неоднозначні, часто незручні. Система СІ стандартизована і краще самосогласованность, на цій системі побудована вся сучасна метрологія [27]. Крім того, система СІ зазвичай використовується в курсах загальної фізики. У зв'язку з цим все співвідношення, якщо вони по-різному записуються в системах СІ і СГС, далі наводяться в двох варіантах.

Іноді (наприклад, в «Фейнмановских лекціях з фізики», а також в сучасної квантової теорії поля) застосовується система одиниць, в якій швидкість світла, електрична та магнітна постійні приймаються за одиницю (c = \ varepsilon_0 = \ mu_0 = 1). У такій системі рівняння Максвелла записуються взагалі без коефіцієнтів, все поля мають єдину розмірність, а все потенціали - свою єдину. Така система особливо зручна в коваріантною чотиривимірний формулюванні законів електродинаміки через 4-потенціал і 4-тензор електромагнітного поля. Переводчик Google для бизнеса –Инструменты переводчикаПереводчик сайтовСлужба "Анализ рынков"

Розмірні константи в рівняннях Максвелла[ред.ред. код]

У гаусом системі одиниць СГС все поля мають однакову розмірність, і в рівняннях Максвелла фігурує єдина фундаментальна константа c \ ,, що має розмірність швидкості, яка зараз називається швидкістю світла (саме рівність цієї константи швидкості поширення світла дало Максвеллові підстави для гіпотези про електромагнітну природу світла [ 32]).

Рівняння Максвелла в середовищі[ред.ред. код]

Щоб отримати повну систему рівнянь електродинаміки, до системи рівнянь Максвелла необхідно додати матеріальні рівняння, що зв'язують величини \ mathbf {j}, \ mathbf {H}, \ mathbf {D}, \ mathbf {E}, \ mathbf {B}, в яких враховані індивідуальні властивості середовища. Спосіб отримання матеріальних рівнянь дають молекулярні теорії поляризації, намагніченості і електропровідності середовища, які використовують ідеалізовані моделі середовища. Застосовуючи до них рівняння класичної або квантової механіки, а також методи статистичної фізики, можна встановити зв'язок між векторами \ mathbf {j}, \ mathbf {H}, \ mathbf {D} з одного боку і \ mathbf {E}, \ mathbf { B} з іншого боку.

Пов'язані заряди і струми[ред.ред. код]

При додатку електричного поля до діелектричних матеріалів кожна з його молекул перетворюється в мікроскопічний диполь. При цьому позитивні ядра атомів трохи зміщуються в напрямку поля, а електронні оболонки в протилежному напрямку. Крім цього, молекули деяких речовин спочатку мають дипольний момент. Дипольні молекули прагнуть орієнтуватися в напрямку поля. Цей ефект називається поляризацією діелектриків. Таке зміщення зв'язаних зарядів молекул в об'ємі еквівалентно появі деякого розподілу зарядів на поверхні, хоча всі молекули, залучені в процес поляризації залишаються нейтральними (див. Малюнок).

Аналогічним чином відбувається магнітна поляризація (намагнічування) в матеріалах, в яких складові їх атоми і молекули мають магнітні моменти, пов'язані зі спіном і орбітальним моментом ядер і електронів. Кутові моменти атомів можна представити у вигляді циркулярних струмів. На кордоні матеріалу сукупність таких мікроскопічних струмів еквівалентна макроскопічними струмів, що циркулює вздовж поверхні, незважаючи на те, що рух зарядів в окремих магнітних диполів відбувається лише в мікромасштабі (пов'язані струми).

Розглянуті моделі показують, що хоча зовнішнє електромагнітне поле діє на окремі атоми і молекули, його поведінка в багатьох випадках можна розглядати спрощеним чином в макроскопічному масштабі, ігноруючи деталі мікроскопічної картини.

У середовищі сторонні електричні і магнітні поля викликають поляризацію і намагнічування речовини, які макроскопічно описуються відповідно вектором поляризації \ mathbf P і вектором намагніченості \ mathbf M речовини, і викликані появою пов'язаних зарядів \ rho_b \ і струмів \ mathbf {j} _b. В результаті поле в середовищі виявляється сумою зовнішніх полів і полів, викликаних пов'язаними зарядами і струмами.

Коваріантного формулювання[ред.ред. код]

З сучасної точки зору, чотиривимірні коваріантна формулювання електродинаміки, і зокрема - запис рівнянь Максвелла в такому вигляді, є фізично найбільш фундаментальної.

Практично вона призводить, крім явної ковариантности, до значно більшої компактності рівнянь, а значить певної красі і в ряді випадків зручності, і більш органічно і прямо включає в себе єдність електромагнітного поля.

Під коваріантною формулюванням розуміють два розрізняються, але прямо і безпосередньо пов'язаних варіанти: Лоренц-коваріантна формулювання в плоскому просторі-часі Мінковського і общековаріантная формулювання для загального випадку викривленого простору-часу (стандартно розглянута в контексті загальної теорії відносності). Другий варіант відрізняється від першого тим, що метрика простору-часу в ньому не постійна (що може означати як присутність гравітації, так і просто використання більш широкого класу координат, наприклад, відповідних неінерціальної системи відліку), і багато в чому зводиться до заміни звичайних похідних по (чотиривимірним) координатам на коваріантні похідні (в значній частині випадків це зводиться до механічної заміни перших на другі). Крім іншого, другий варіант дозволяє досліджувати взаємодію електромагнітного поля з гравітацією.

Нижче спочатку розглянутий (як більш простий) перший варіант - варіант Лоренц-коваріантною формулювання в плоскому просторі-часі.

Чисельне рішення рівнянь Максвелла[ред.ред. код]

З розвитком обчислювальної техніки стало можливим вирішувати багато завдань електродинаміки чисельними методами [80], які дозволяють визначити розподіл електромагнітного поля при заданих початкових і граничних умовах, використовуючи алгоритми, засновані на рівняннях Максвелла.

Основними методами є проекційні, в яких рішення проектується на будь-якої зручний функціональний базис, і діскретізаціонние - область простору розбивається на безліч малих кінцевих областей.

У проекційному методі Бубнова - Гальоркіна [81] розв'язок граничної задачі розглядається у вигляді наближеного кінцевого розкладання по базисних функціях. Після підстановки розкладання в вихідні рівняння з урахуванням вимоги ортогональності получающейся невязки обраним базисним функціям виходить система лінійних рівнянь для коефіцієнтів розкладання. Для комп'ютерних розрахунків частіше застосовуються більш універсальні діскретізаціонние методи:

Метод кінцевих елементів (FEM), який використовується для вирішення широкого класу задач, що зводяться до рівнянь в приватних похідних. У теорії електромагнетизму частіше використовується для розрахунку задач електростатики, магнітостатики, поширення хвиль і квазістаціонарних явищ [82] [83]. У методі кінцевих елементів розглянута область простору, в якій шукається рішення, розбивається на велике число простих дискретних елементів, зазвичай, але не обов'язково, трикутної (в двовимірному випадку) або тетраедральной форми (в тривимірному випадку). Форма і щільність елементів адаптуються до вимог завдання. Поведінка окремих елементів розглядається як результат лінійного взаємодії сусідніх вузлів решітки розбиття під дією зовнішніх сил і описується матричними рівняннями. Рішення завдання зводиться, таким чином, до вирішення розріджених систем великого числа лінійних матричних рівнянь. Метод реалізований в багатьох комерційних і вільних програмних пакетах (див. Статтю Метод кінцевих елементів). Метод кінцевих різниць у часовій області (FDTD) для знаходження тимчасових і спектральних залежностей [84] [85] був розроблений спеціально для вирішення рівнянь Максвелла, в яких зміна електричного і магнітного поля в часі залежить від зміни, відповідно, магнітного і електричного поля в просторі . В рамках цього методу область простору і часовий інтервал піддаються рівномірної дискретизації із завданням початкових умов. Отримані з рівнянь Максвелла кінцево-різницеві рівняння вирішуються в кожний наступний момент тимчасової сітки, поки не буде отримано рішення поставленого завдання на всьому необхідному часовому інтервалі.

Рівняння електродинаміки в диференціальній формі[ред.ред. код]

Форма запису рівнянь Максвелла залежить від системи одиниць. Здебільшого фізики користуються формою запису в системі СГСГ. У системі СІ вибрана форма запису, в якій не фігурують множник  4\pi та швидкість світла с. Ідея полягала в тому, щоб записати рівняння Максвелла, як найфундаментальніші рівняння, в найпростішій формі. Однак це призвело до появи зайвих множників в інших основних рівняннях, наприклад, законі Кулона. Крім того напруженості електричних та магнітного полів отримали різні розмірності, що з точки зору фізика є великим недоліком. Оскільки рівняння Максвелла описують розповсюдження електромагнітних хвиль, то бажано також, щоб їхня швидкість (швидкість світла) входила в рівняння.

СГСГ[ред.ред. код]

У вакуумі[ред.ред. код]

У диференційній формі рівняння Максвелла для вакууму мають такий вигляд

 \text{rot} \, \mathbf{B} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{4\pi}{c}
\mathbf{j} ,
 \text{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ,
 \text{div} \, \mathbf{B} =  0
 \text{div} \, \mathbf{E} = 4\pi \rho.

Рівняння записані в системі СГС. Тут  \mathbf{E}  — напруженість електричного поля, \mathbf{B} вектор магнітної індукції, \rho  — густина електричного заряду, \mathbf{j}  — густина електричного струму,  c  — швидкість світла.

У середовищі[ред.ред. код]

У речовині електричне та магнітні поля характеризуються додатковими векторами: електричною індукцією та напруженістю магнітного поля, зв'язаних з, відповідно, напруженістю електричного поля й магнітною індукцією співвідношення, які називають матеріальними. У загальному вигляді матеріальні співвідношення мають складну нелокальну форму, тому при запису основних рівнянь електродинаміки їх не наводять. Рівняння набирають вигляду

 \text{rot} \, \mathbf{H} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \frac{4\pi}{c}
\mathbf{j} ,
 \text{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ,
 \text{div} \, \mathbf{B} =  0
 \text{div} \, \mathbf{D} = 4\pi \rho_{f}.

Тут \rho_{f} - густина вільних зарядів. Внесок зв'язаних зарядів враховується при визначенні вектора електричної індукці  \mathbf{D} .

СІ[ред.ред. код]

У системі СІ навіть для вакууму вводяться дві додаткові характеристики електромагнітного поля: вектор електричної індукції та напруженість магнітного поля. У вакуумі вони пов'язані з напруженістю електричного поля та магнітною індукцією за допомогою сталих множників

\mathbf{B}= \mu_0\mathbf{H}
\mathbf{D}= \varepsilon_0\mathbf{E},

де \varepsilon_0 — електрична стала, \mu_0 — магнітна стала, тому система диференційних рівнянь Максвелла має такий вигляд:

 \text{rot} \, \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + 
\mathbf{j} ,
 \text{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ,
 \text{div} \, \mathbf{B} =  0
 \text{div} \, \mathbf{D} = \rho.

У речовині рівняння зберігають свій вигляд, за винятком того, що матеріальні співвідношення, тобто зв'язкок між  \mathbf{D} та  \mathbf{E} ,  \mathbf{B} та  \mathbf{H} мають складнішу форму, і замість густини усіх електричних зарядів  \rho враховуються тільки вільні електричні заряди.

Пояснення[ред.ред. код]

Перше рівняння Максвелла (закон Ампера) визначає магнітне поле, створене струмом із густиною \mathbf{j} або ж наведене змінним електричним полем.

Друге рівняння Максвелла (закон Фарадея) визначає електричне поле, яке виникає при зміні напруженості магнітного поля.

Третє рівняння Максвелла (теорема Гауса) стверджує, що не існує монопольних магнітних зарядів.

Четверте рівняння Максвелла (рівняння Пуассона) стверджує, що навколо електричних зарядів існує електричне поле. Це рівняння аналогічне закону Кулона.

Історична довідка[ред.ред. код]

Згідно з легендою, приступаючи до роботи над створенням загальної теорії електромагнітних явищ, Джеймс Клерк Максвелл вирішив, що читатиме тільки експериментальні роботи. При виведенні своїх рівнянь він опирався на закон Кулона, який визначав силу взаємодії між зарядами, закон Ампера, що визначав силу взаємодії між струмами, закон електромагнітної індукції Фарадея, відсутність експериментальних даних, що вказували б на існування магнітного монополя та математичний апарат, розвинутий при вивченні явищ в області механіки й гідродинаміки. Електричне та магнітні поля Максвелл уявляв собі, як механічні збурення певного середовища — ефіру.

Максвелл вперше опублікував свої рівняння в 1861 році. В 1864 побачила світ інша його праця, в якій рівнянь було вісім, оскільки вони включали інші закони, які зараз не заведено включати в число рівнянь Максвелла. В 1884 Хевісайд при допомозі Гібса вибрали першу систему 4-х рівнянь і переписали її у векторній формі, близькій до сучасної.

Неінваріантність відносно перетворень Галілея[ред.ред. код]

Рівняння Максвелла змінюють свій вигляд при переході від одної інерційної системи координат до іншої, якщо правила цього переходу задавати класичними перетвореннями Галілея. Ця обставина мало хвилювала Максвелла й інших вчених 19 сторіччя, оскільки вважалося, що рівняння справедливі лише в одній системі координат — тій, що зв'язана з непорушним ефіром.

В 1887 році Лармор знайшов перетворення, при яких рівняння Максвелла не змінюють вигляду при переході від одної неінерційної системи координат до іншої. Ці перетворення були названі перетвореннями Лоренца (Лоренц отримав їх у наближеному вигляді трошки раніше). Саме ці перетворення Ейнштейн поклав в основу спеціальної теорії відносності, яка відмовилася від ідеї про існування ефіру. Після цього рівняння Максвелла набули статусу універсального закону природи, справедливого в будь-якій системі координат. Проте їхня інтерпретація докорінно відрізняється від ідей, на яких Максвелл ґрунтував свій вивід.

Таблиця рівнянь у СІ[ред.ред. код]

У СІ рівняння електродинаміки підсумовуються як:

Lp. Диференційне рівняння Інтегральне рівняння Назва Явище, котре описує рівняння
1. \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}} \oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}\Phi_B}{\mbox{d}t} закон Фарадея Змінне у часі магнітне поле викликає вихрове електричне поле.
2. \nabla \times \vec{H} = \vec{j} +\frac{\partial \vec{D}} {\partial {t}} \oint\limits_L \vec{H} \cdot \mbox{d}\vec{l} = I + \frac{\mbox{d}\Phi_D}{\mbox{d}t} Закон Ампера, розширений Максвеллом Електричний струм і змінне електричне поле створюють магнітне поле.
3. \nabla \cdot \vec{D} = \rho \oint\limits_S \vec{D} \cdot \mbox{d}\vec{s} = \int\limits_V \rho \cdot \mbox{d}V закон Гауса для електрики Джерело електричного поля — заряди
4. \nabla \cdot \vec{B} = 0 \oint\limits_S \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{s} = 0 Закон Гауса для магнітного поля Не існує заряду магнітного поля, силові лінії магнітного поля замкнені.

де:

Отримання рівнянь Максвелла у вакуумі із використанням СТВ, принципу суперпозиції та закону Кулона[ред.ред. код]

Із отримання виразу для сили Лоренца, напруженістю електричного поля заряду, що рухається, є вираз

\ \mathbf E = \frac{Q \gamma \mathbf r}{\left( \mathbf r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}} (\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \qquad (.1),

а індукцією магнітного поля -

\ \mathbf B = \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E].

Якщо у \ (.1) підставити \ \mathbf r = 0, то значення відповідно напруженості та індукції буде нескінченно великим. Для уникнення цього можна штучно ввести константу \ a^{2} як доданок у знаменник \ (.1) (регуляризація). Тоді модифікований вираз набуде вигляду

\ \mathbf E = \frac{Q \gamma \mathbf r}{\left( \mathbf r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \qquad (.2).

Для того, щоб показати, у якій мірі точки простору є джерелами та стоками електричного та магнітного полів, треба взяти дивергенцію від напруженості електричного поля та від індукції магнітного поля. З урахуванням попередніх перетворень,

,

з виразу \ (.2) можна отримати:

\ \nabla \mathbf E = 4 \pi Q \delta_{a} (\mathbf r),

,

де

\ \delta_{a} (\mathbf r) = \frac{3\gamma a^{2}}{4\pi (r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{5}{2}}}

- тривимірна дельта-функція Дірака, яка дозволяє записати просторову густину заряду, зосередженого в одній точці. З неї видно, що \ \nabla \mathbf E = 0 у кожній точці, крім як при \ r = 0, a -> 0, у якій \ \nabla \mathbf E = \infty. Звідси можна стверджувати, базуючись на визначенні дивергенції, що електричний заряд - точка (у даному випадку), яка є джерелом електричної індукції.

Перейшовши до неперервного розподілення зарядів у об'ємі та використавши аксіому принципа суперпозиції полів, суму тривимірних дельта-функцій Дірака можна замінити об'ємною густиною:

\ \nabla \mathbf E = 4 \pi \rho, \quad \mathbf \rho = \sum_{i}Q_{i}\delta_{\alpha}(\mathbf r - \mathbf r_{i}) \qquad (.3).

Рівняння \ (.3) є першим рівнянням Максвелла. Із нього можна отримати багато фізичних наслідків. Один з цих наслідків полягає у тому, що силові лінії поля починаються на додатному заряді і можуть замикатися лише на від'ємному, оскільки для додатного заряду \ \nabla \mathbf E відповідає витоку поля, а для від'ємного - його стоку.

Аналогічно можна отримати величину дивергенції магнітної індукції.

Для цього треба урахувати наступні попередні виведення.

Тоді, користуючись тим, що, одразу, \ \nabla \mathbf u = 0, можна отримати, що

\ \nabla \mathbf B = 0 \qquad (.4).

Звідси очевидно, виходячи з поняття дивергенції, що жодна з точок простору у полі заряду, що рухається, включаючи точку положення самого заряду, не є джерелом магнітного поля.

Рівняння \ (4) є другим рівнянням Максвелла.

Тепер, для визначеності закрученості поля в точках, можна взяти ротор від \ \mathbf E, \mathbf B.

З урахуванням же того, що швидкість руху ІСВ постійна, можна записати явний вираз для ротора магнітного поля:

\ [\nabla \times \mathbf B] = [\nabla \times \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E]] = \frac{1}{c}\mathbf u (\mathbf E \cdot \nabla) - \frac{1}{c}\mathbf E (\mathbf u \cdot \nabla) \qquad (.5).

Цей вираз можна видозмінити за допомогою наступних міркувань.

При аналізі руху ІСВ відносно заряду треба виразити радіус-вектор \ \mathbf r у явному вигляді:

\ \mathbf r = \mathbf r_{0} - \mathbf u t \Rightarrow \mathbf E = \frac{kQ \gamma (\mathbf r_{0} - \mathbf u t)}{((\mathbf r_{0} - \mathbf u t)^{2} + \gamma^{2} \frac{((\mathbf r_{0} - \mathbf u t) \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{3}{2}} }.

Тоді частинна похідна по часу напруженості електричного поля буде рівна

\ \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial \mathbf E}{\partial (r_{0_{i}} - u_{i}t)}\frac{\partial (r_{0_{i}} - u_{i}t)}{\partial t} = -\sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial \mathbf E}{\partial r_{i}}u_{i} = -(\mathbf u \cdot \nabla) \mathbf E \qquad (.6).

Підставивши \ (.6) у \ (.5), можна отримати:

\ [\nabla \times \mathbf B] = \frac{1}{c}\mathbf u (\mathbf E \cdot \nabla) - \frac{1}{c}\mathbf E (\mathbf u \cdot \nabla) = \frac{1}{c}4 \pi Q \delta_{a} (\mathbf r)\mathbf u + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = \frac{1}{c}4\pi \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \qquad (.7),

де \ \mathbf j = \sum_{i} Q_{i} \delta_{a} (\mathbf r_{i}) \mathbf u - густина струму.

Рівняння \ (.7) є третім рівнянням Максвелла. З нього видно, що при електричний струм або зміна його у часі породжують вихрове магнітне поле.

Ротор же від напруженості електричного поля буде рівен

\ [ \nabla \times \mathbf E ] = [\nabla \times \frac{Q \gamma \mathbf r}{(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{3}{2}} }] = [\nabla \times \mathbf r]\frac{Q \gamma }{(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{3}{2}}} - 3Q\gamma\frac{\left[ \left(\mathbf r + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf r )\right) \times \mathbf r \right]}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf r )^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}  = -\frac{3[\mathbf u \times \mathbf r ] (\mathbf r \cdot \mathbf u) Q \gamma^{3}}{c^{2}(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{5}{2}}} \qquad (.8).

Вираз \ (.8), аналогічно до \ (6), можна перетворити. Тоді

\ [\nabla \times \mathbf E] = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}  \qquad (.9).

Рівняння \ (.9) є четвертим рівнянням Максвелла. З нього видно, що ротор напруженості електричного поля змінюється тільки тоді, коли є нестаціонарне магнітне поле (і, відповідно, напруженість електричного поля не сферично-симетрична через релятивістські ефекти - є виділений напрям руху заряду). У випадку із зарядом, який покоїться, поле сферично-симетричне, тому для нього ротор рівен нулю.

На остачу залишилось написати про дві аксіоми, кожна з яких має досить вагомий внесок у можливість застосування отриманих рівнянь для електродинаміки.

Перша аксіома полягає у постулюванні векторної природи електромагнітного поля. Якщо б природа електромагнітного поля була тензорною, то для його описання знадобилися б рівняння на кшталт рівнянь ЗТВ. Наприклад, якщо формально застосувати ту ж методику, що продемонстрована у цьому розділі, до закону Всесвітнього тяжіння, то можна отримати рівняння, схожі до рівнянь Максвелла, як і вираз для сили, подібний до виразу сили Лоренца. Проте їх вірність не підтверджується експериментально, хоч якісно вони і вірно описують динаміку тіл у гравітаційному полі за умови справедливості принципу суперпозиції.

Друга ж аксіома пов'язана з постулюванням незалежності рівнянь Максвелла від прискорення заряду, що створює поле. Тобто, вони справедливі для будь-яких можливих випадків руху заряду.

Окрім цього, варто написати про принцип суперпозиції. Він може бути застосований до тих пір, поки поля, що створюються зарядами, не стануть настільки сильними, що будуть впливати на простір-час, унеможливлюючи представлення векторів-характеристик поля системи через лінійну комбінацію векторів зарядів цієї системи.

Незалежність рівнянь Максвелла[ред.ред. код]

Користуючись рівнянням неперервності, можна перевірити систему рівнянь Максвелла на невиродженість. Взявши дивергенцію від роторного рівняння для індукції магнітного поля без підстановки \ \nabla \mathbf E і виразивши з рівняння неперервності \ \nabla \mathbf j = - \frac{\partial \rho}{\partial t}, можна отримати:

\ \frac{1}{c}\nabla \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial \nabla \mathbf E}{\partial t} = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \mathbf E - 4 \pi \rho \right) = 0 \Rightarrow \nabla \mathbf E = 4 \pi \rho + f(x, y, z).

Аналогічно можна взяти дивергенцію від четвертого рівняння Максвелла:

\ (\nabla \cdot [ \nabla \times \mathbf E]) = \frac{\partial \nabla \mathbf B}{\partial t} = 0 \Rightarrow \nabla \mathbf B = g(x, y, z).

Таким чином, із другої пари рівнянь Максвелла можна отримати першу тільки з точністю до функцій від координат, які не залежать від часу. Строго довести же, користуючись лише цими двома рівняннями, що функції рівні нулю, неможливо. Тому у цьому сенсі рівняння Максвелла (усього їх вісім - дві пари по три рівняння (оскільки роторні рівняння розпадаються на три компонентних рівняння)) є незалежними.