Рівняння Максвелла

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівня́ння Ма́ксвелла — це основні рівняння класичної електродинаміки, які описують електричне та магнітне поле, створене зарядами й струмами.

Рівняння електродинаміки в диференціальній формі[ред.ред. код]

Форма запису рівнянь Максвелла залежить від системи одиниць. Здебільшого фізики користуються формою запису в системі СГСГ. У системі СІ вибрана форма запису, в якій не фігурують множник  4\pi та швидкість світла с. Ідея полягала в тому, щоб записати рівняння Максвелла, як найфундаментальніші рівняння, в найпростішій формі. Однак це призвело до появи зайвих множників в інших основних рівняннях, наприклад, законі Кулона. Крім того напруженості електричних та магнітного полів отримали різні розмірності, що з точки зору фізика є великим недоліком. Оскільки рівняння Максвелла описують розповсюдження електромагнітних хвиль, то бажано також, щоб їхня швидкість (швидкість світла) входила в рівняння.

СГСГ[ред.ред. код]

У вакуумі[ред.ред. код]

У диференційній формі рівняння Максвелла для вакууму мають такий вигляд

 \text{rot} \, \mathbf{B} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{4\pi}{c}
\mathbf{j} ,
 \text{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ,
 \text{div} \, \mathbf{B} =  0
 \text{div} \, \mathbf{E} = 4\pi \rho.

Рівняння записані в системі СГС. Тут  \mathbf{E}  — напруженість електричного поля, \mathbf{B} вектор магнітної індукції, \rho  — густина електричного заряду, \mathbf{j}  — густина електричного струму,  c  — швидкість світла.

У середовищі[ред.ред. код]

У речовині електричне та магнітні поля характеризуються додатковими векторами: електричною індукцією та напруженістю магнітного поля, зв'язаних з, відповідно, напруженістю електричного поля й магнітною індукцією співвідношення, які називають матеріальними. У загальному вигляді матеріальні співвідношення мають складну нелокальну форму, тому при запису основних рівнянь електродинаміки їх не наводять. Рівняння набирають вигляду

 \text{rot} \, \mathbf{H} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \frac{4\pi}{c}
\mathbf{j} ,
 \text{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ,
 \text{div} \, \mathbf{B} =  0
 \text{div} \, \mathbf{D} = 4\pi \rho_{f}.

Тут \rho_{f} - густина вільних зарядів. Внесок зв'язаних зарядів враховується при визначенні вектора електричної індукці  \mathbf{D} .

СІ[ред.ред. код]

У системі СІ навіть для вакууму вводяться дві додаткові характеристики електромагнітного поля: вектор електричної індукції та напруженість магнітного поля. У вакуумі вони пов'язані з напруженістю електричного поля та магнітною індукцією за допомогою сталих множників

\mathbf{B}= \mu_0\mathbf{H}
\mathbf{D}= \varepsilon_0\mathbf{E},

де \varepsilon_0 — електрична стала, \mu_0 — магнітна стала, тому система диференційних рівнянь Максвелла має такий вигляд:

 \text{rot} \, \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + 
\mathbf{j} ,
 \text{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ,
 \text{div} \, \mathbf{B} =  0
 \text{div} \, \mathbf{D} = \rho.

У речовині рівняння зберігають свій вигляд, за винятком того, що матеріальні співвідношення, тобто зв'язкок між  \mathbf{D} та  \mathbf{E} ,  \mathbf{B} та  \mathbf{H} мають складнішу форму, і замість густини усіх електричних зарядів  \rho враховуються тільки вільні електричні заряди.

Пояснення[ред.ред. код]

Перше рівняння Максвелла (закон Ампера) визначає магнітне поле, створене струмом із густиною \mathbf{j} або ж наведене змінним електричним полем.

Друге рівняння Максвелла (закон Фарадея) визначає електричне поле, яке виникає при зміні напруженості магнітного поля.

Трете рівняння Максвелла (теорема Гауса) стверджує, що не існує монопольних магнітних зарядів.

Четверте рівняння Максвелла (рівняння Пуассона) стверджує, що навколо електричних зарядів існує електричне поле. Це рівняння аналогічне закону Кулона.

Історична довідка[ред.ред. код]

Згідно з легендою, приступаючи до роботи над створенням загальної теорії електромагнітних явищ, Джеймс Клерк Максвелл вирішив, що читатиме тільки експериментальні роботи. При виведенні своїх рівнянь він опирався на закон Кулона, який визначав силу взаємодії між зарядами, закон Ампера, що визначав силу взаємодії між струмами, закон електромагнітної індукції Фарадея, відсутність експериментальних даних, що вказували б на існування магнітного монополя та математичний апарат, розвинутий при вивченні явищ в області механіки й гідродинаміки. Електричне та магнітні поля Максвелл уявляв собі, як механічні збурення певного середовища — ефіру.

Максвелл вперше опублікував свої рівняння в 1861 році. В 1864 побачила світ інша його праця, в якій рівнянь було вісім, оскільки вони включали інші закони, які зараз не заведено включати в число рівнянь Максвелла. В 1884 Хевісайд при допомозі Гібса вибрали першу систему 4-х рівнянь і переписали її у векторній формі, близькій до сучасної.

Неінваріантність відносно перетворень Галілея[ред.ред. код]

Рівняння Максвелла змінюють свій вигляд при переході від одної інерційної системи координат до іншої, якщо правила цього переходу задавати класичними перетвореннями Галілея. Ця обставина мало хвилювала Максвелла й інших вчених 19 сторіччя, оскільки вважалося, що рівняння справедливі лише в одній системі координат — тій, що зв'язана з непорушним ефіром.

В 1887 році Лармор знайшов перетворення, при яких рівняння Максвелла не змінюють вигляду при переході від одної неінерційної системи координат до іншої. Ці перетворення були названі перетвореннями Лоренца (Лоренц отримав їх у наближеному вигляді трошки раніше). Саме ці перетворення Ейнштейн поклав в основу спеціальної теорії відносності, яка відмовилася від ідеї про існування ефіру. Після цього рівняння Максвелла набули статусу універсального закону природи, справедливого в будь-якій системі координат. Проте їхня інтерпретація докорінно відрізняється від ідей, на яких Максвелл ґрунтував свій вивід.

Таблиця рівнянь у СІ[ред.ред. код]

У СІ рівняння електродинаміки підсумовуються як:

Lp. Диференційне рівняння Інтегральне рівняння Назва Явище, котре описує рівняння
1. \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}} \oint\limits_L \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\mbox{d}\Phi_B}{\mbox{d}t} закон Фарадея Змінне у часі магнітне поле викликає вихрове електричне поле.
2. \nabla \times \vec{H} = \vec{j} +\frac{\partial \vec{D}} {\partial {t}} \oint\limits_L \vec{H} \cdot \mbox{d}\vec{l} = I + \frac{\mbox{d}\Phi_D}{\mbox{d}t} Закон Ампера, розширений Максвеллом Електричний струм і змінне електричне поле створюють магнітне поле.
3. \nabla \cdot \vec{D} = \rho \oint\limits_S \vec{D} \cdot \mbox{d}\vec{s} = \int\limits_V \rho \cdot \mbox{d}V закон Гауса для електрики Джерело електричного поля — заряди
4. \nabla \cdot \vec{B} = 0 \oint\limits_S \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{s} = 0 Закон Гауса для магнітного поля Не існує заряду магнітного поля, силові лінії магнітного поля замкнені.

де:

Отримання рівнянь Максвелла у вакуумі із використанням СТВ, принципу суперпозиції та закону Кулона[ред.ред. код]

Із отримання виразу для сили Лоренца, напруженістю електричного поля заряду, що рухається, є вираз

\ \mathbf E = \frac{Q \gamma \mathbf r}{\left( \mathbf r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}} (\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \qquad (.1),

а індукцією магнітного поля -

\ \mathbf B = \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E].

Якщо у \ (.1) підставити \ \mathbf r = 0, то значення відповідно напруженості та індукції буде нескінченно великим. Для уникнення цього можна штучно ввести константу \ a^{2} як доданок у знаменник \ (.1) (регуляризація). Тоді модифікований вираз набуде вигляду

\ \mathbf E = \frac{Q \gamma \mathbf r}{\left( \mathbf r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \qquad (.2).

Для того, щоб показати, у якій мірі точки простору є джерелами та стоками електричного та магнітного полів, треба взяти дивергенцію від напруженості електричного поля та від індукції магнітного поля. З урахуванням попередніх перетворень,

,

з виразу \ (.2) можна отримати:

\ \nabla \mathbf E = 4 \pi Q \delta_{a} (\mathbf r),


,

де

\ \delta_{a} (\mathbf r) = \frac{3\gamma a^{2}}{4\pi (r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{5}{2}}}

- тривимірна дельта-функція Дірака, яка дозволяє записати просторову густину заряду, зосередженого в одній точці. З неї видно, що \ \nabla \mathbf E = 0 у кожній точці, крім як при \ r = 0, a -> 0, у якій \ \nabla \mathbf E = \infty. Звідси можна стверджувати, базуючись на визначенні дивергенції, що електричний заряд - точка (у даному випадку), яка є джерелом електричної індукції.

Перейшовши до неперервного розподілення зарядів у об'ємі та використавши аксіому принципа суперпозиції полів, суму тривимірних дельта-функцій Дірака можна замінити об'ємною густиною:

\ \nabla \mathbf E = 4 \pi \rho, \quad \mathbf \rho = \sum_{i}Q_{i}\delta_{\alpha}(\mathbf r - \mathbf r_{i}) \qquad (.3).

Рівняння \ (.3) є першим рівнянням Максвелла. Із нього можна отримати багато фізичних наслідків. Один з цих наслідків полягає у тому, що силові лінії поля починаються на додатному заряді і можуть замикатися лише на від'ємному, оскільки для додатного заряду \ \nabla \mathbf E відповідає витоку поля, а для від'ємного - його стоку.

Аналогічно можна отримати величину дивергенції магнітної індукції.

Для цього треба урахувати наступні попередні виведення.

Тоді, користуючись тим, що, одразу, \ \nabla \mathbf u = 0, можна отримати, що

\ \nabla \mathbf B = 0 \qquad (.4).

Звідси очевидно, виходячи з поняття дивергенції, що жодна з точок простору у полі заряду, що рухається, включаючи точку положення самого заряду, не є джерелом магнітного поля.

Рівняння \ (4) є другим рівнянням Максвелла.

Тепер, для визначеності закрученості поля в точках, можна взяти ротор від \ \mathbf E, \mathbf B.

З урахуванням же того, що швидкість руху ІСВ постійна, можна записати явний вираз для ротора магнітного поля:

\ [\nabla \times \mathbf B] = [\nabla \times \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E]] = \frac{1}{c}\mathbf u (\mathbf E \cdot \nabla) - \frac{1}{c}\mathbf E (\mathbf u \cdot \nabla) \qquad (.5).

Цей вираз можна видозмінити за допомогою наступних міркувань.

При аналізі руху ІСВ відносно заряду треба виразити радіус-вектор \ \mathbf r у явному вигляді:

\ \mathbf r = \mathbf r_{0} - \mathbf u t \Rightarrow \mathbf E = \frac{kQ \gamma (\mathbf r_{0} - \mathbf u t)}{((\mathbf r_{0} - \mathbf u t)^{2} + \gamma^{2} \frac{((\mathbf r_{0} - \mathbf u t) \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{3}{2}} }.

Тоді частинна похідна по часу напруженості електричного поля буде рівна

\ \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial \mathbf E}{\partial (r_{0_{i}} - u_{i}t)}\frac{\partial (r_{0_{i}} - u_{i}t)}{\partial t} = -\sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial \mathbf E}{\partial r_{i}}u_{i} = -(\mathbf u \cdot \nabla) \mathbf E \qquad (.6).

Підставивши \ (.6) у \ (.5), можна отримати:

\ [\nabla \times \mathbf B] = \frac{1}{c}\mathbf u (\mathbf E \cdot \nabla) - \frac{1}{c}\mathbf E (\mathbf u \cdot \nabla) = \frac{1}{c}4 \pi Q \delta_{a} (\mathbf r)\mathbf u + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = \frac{1}{c}4\pi \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \qquad (.7),

де \ \mathbf j = \sum_{i} Q_{i} \delta_{a} (\mathbf r_{i}) \mathbf u - густина струму.

Рівняння \ (.7) є третім рівнянням Максвелла. З нього видно, що при електричний струм або зміна його у часі породжують вихрове магнітне поле.

Ротор же від напруженості електричного поля буде рівен

\ [ \nabla \times \mathbf E ] = [\nabla \times \frac{Q \gamma \mathbf r}{(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{3}{2}} }] = [\nabla \times \mathbf r]\frac{Q \gamma }{(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{3}{2}}} - 3Q\gamma\frac{\left[ \left(\mathbf r + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf r )\right) \times \mathbf r \right]}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf r )^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}  = -\frac{3[\mathbf u \times \mathbf r ] (\mathbf r \cdot \mathbf u) Q \gamma^{3}}{c^{2}(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{5}{2}}} \qquad (.8).

Вираз \ (.8), аналогічно до \ (6), можна перетворити. Тоді

\ [\nabla \times \mathbf E] = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}  \qquad (.9).

Рівняння \ (.9) є четвертим рівнянням Максвелла. З нього видно, що ротор напруженості електричного поля змінюється тільки тоді, коли є нестаціонарне магнітне поле (і, відповідно, напруженість електричного поля не сферично-симетрична через релятивістські ефекти - є виділений напрям руху заряду). У випадку із зарядом, який покоїться, поле сферично-симетричне, тому для нього ротор рівен нулю.

На остачу залишилось написати про дві аксіоми, кожна з яких має досить вагомий внесок у можливість застосування отриманих рівнянь для електродинаміки.

Перша аксіома полягає у постулюванні векторної природи електромагнітного поля. Якщо б природа електромагнітного поля була тензорною, то для його описання знадобилися б рівняння на кшталт рівнянь ЗТВ. Наприклад, якщо формально застосувати ту ж методику, що продемонстрована у цьому розділі, до закону Всесвітнього тяжіння, то можна отримати рівняння, схожі до рівнянь Максвелла, як і вираз для сили, подібний до виразу сили Лоренца. Проте їх вірність не підтверджується експериментально, хоч якісно вони і вірно описують динаміку тіл у гравітаційному полі за умови справедливості принципу суперпозиції.

Друга ж аксіома пов'язана з постулюванням незалежності рівнянь Максвелла від прискорення заряду, що створює поле. Тобто, вони справедливі для будь-яких можливих випадків руху заряду.

Окрім цього, варто написати про принцип суперпозиції. Він може бути застосований до тих пір, поки поля, що створюються зарядами, не стануть настільки сильними, що будуть впливати на простір-час, унеможливлюючи представлення векторів-характеристик поля системи через лінійну комбінацію векторів зарядів цієї системи.

Незалежність рівнянь Максвелла[ред.ред. код]

Користуючись рівнянням неперервності, можна перевірити систему рівнянь Максвелла на невиродженість. Взявши дивергенцію від роторного рівняння для індукції магнітного поля без підстановки \ \nabla \mathbf E і виразивши з рівняння неперервності \ \nabla \mathbf j = - \frac{\partial \rho}{\partial t}, можна отримати:

\ \frac{1}{c}\nabla \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial \nabla \mathbf E}{\partial t} = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \mathbf E - 4 \pi \rho \right) = 0 \Rightarrow \nabla \mathbf E = 4 \pi \rho + f(x, y, z).

Аналогічно можна взяти дивергенцію від четвертого рівняння Максвелла:

\ (\nabla \cdot [ \nabla \times \mathbf E]) = \frac{\partial \nabla \mathbf B}{\partial t} = 0 \Rightarrow \nabla \mathbf B = g(x, y, z).

Таким чином, із другої пари рівнянь Максвелла можна отримати першу тільки з точністю до функцій від координат, які не залежать від часу. Строго довести же, користуючись лише цими двома рівняннями, що функції рівні нулю, неможливо. Тому у цьому сенсі рівняння Максвелла (усього їх вісім - дві пари по три рівняння (оскільки роторні рівняння розпадаються на три компонентних рівняння)) є незалежними.

Див. також[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.