Пропорція (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Приклад пропорції

Пропо́рція (від лат. proportio — рівняю) — в математиці рівність двох відношень.
Записується як:


або як:


І читається: «a відноситься до b так само, як c відноситься до d».
У пропорції всі члени натуральні. Члени a та d називають крайніми членами пропорції, а b та cсередніми.

Властивості пропорції[ред.ред. код]

Основна властивість[ред.ред. код]

У пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.
Якщо , то
Наприклад,

Властивість обернення[ред.ред. код]

У пропорції, якщо переставити місцем перший крайній член із першим середнім членом, а другий середній — із другим крайнім, то знову вийде пропорція.
Якщо , то
Наприклад,


Перевіримо основною властивостю:

Властивість переставляння[ред.ред. код]

У пропорції, якщо поміняти місцями крайні або середні члени, або і ті і ті, знову вийде пропорція.
Якщо , то , , :
Наприклад,




Перевірімо:

Властивості додавання і віднімання[ред.ред. код]

Властивість додавання[ред.ред. код]

У пропорції сума першого і другого членів відноситься до першого або другого члена так само, як сума третього і четвертого членів відноситься до третього або четвертого члена.
Якщо , то ,
Наприклад:




Перевірімо:


Властивість віднімання[ред.ред. код]

У пропорції, якщо перший член більший за другий (і тому третій член більший за четвертий) різниця першого і другого членів відноситься до першого або другого члена так само, як різниця третього і четвертого членів відноситься до третього або четвертого члена.
Якщо (де і ), то , :
Наприклад:




Перевірмо:


Як знаходити невідомий член[ред.ред. код]

Як знаходити невідомий крайній[ред.ред. код]

Щоб знайти невідомий крайній, достатньо поділити добуток середніх членів на відомий крайній.
Якщо , то
Наприклад:


Як знаходити невідомий середній[ред.ред. код]

Щоб знайти невідомий середній, достатньо добуток крайніх членів поділити на відомий середній.
Якщо , то
Наприклад:


Як знаходити невідомий середній, якщо середні члени однакові[ред.ред. код]

Щоб знайти невідомий середній, якщо середні члени однакові, достатньо знайти квадратний корінь добутку крайніх членів.
Якщо
, то
Наприклад:


Як знаходити невідомі середній і крайній[ред.ред. код]

Як знаходити невідомі середній і крайній, знаючи суму відомих середнього і крайнього[ред.ред. код]

Достатньо додати відомі члени, потім знайти такі числа, до якого сума невідомих членів відноситься так само, як сума відомих членів до кожного з них:
Якщо , то:

Наприклад:

, де


Як знаходити невідомі середній і крайній, знаючи різницю відомих середнього і крайнього[ред.ред. код]

Достатньо відняти відомі члени, потім знайти такі числа, до якого різниці невідомих членів відноситься так само, як різниця відомих членів до кожного з них:
Якщо , то:

Наприклад:

, де


Пропорційні величини[ред.ред. код]

Прямо пропорційні величини[ред.ред. код]

Уявімо, що ми купили 1 кг яблук і заплатили 8 грн. Якщо ми купимо 2 кг, то заплатимо 16 грн., якщо 3 — то 24 грн. і т. д.
Маса наших яблук завжди так само відноситься до кошту. Якщо поїзд рухається зі швидкостю 30 км/год, то за 2 години він проїде 60 км, за 3 — 90 км і т. д.
Маса яблук і кошт, або час, за який рухається поїзд, називають прямо пропорційнми величинами. Взагалі, дві величини прямо пропорційні, коли, якщо збільшити або зменшити в певну кількість раз першу, то друга збільшується або зменшується в стільки раз, тобто ці величини можна записати як

де kкоефіцієнт пропорційності.

Обернено пропорційні величини[ред.ред. код]

Очевидно, що чим більше людей думають про те, щоб прибрати в будинку, тим менше часу треба буде. Якщо самому треба 10 год, то вдвох — 5 год, в трьох — 31/3 год і т. д. Кількість людей, які прибирають, і час, — обернено пропорційні величини. Дві величини обернено пропорційні, якщо, коли помножити на якесь число першу, то друга помножиться на обернений дріб.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

Посилання[ред.ред. код]