Дріб

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
8 / 13        чисельник
чисельник знаменник знаменник
Два способи запису одного дробу.

Дріб — у математиці це представлення чисел або математичних величин у вигляді результату операції ділення. Найчастіше дріб подається у формі , де a називають чисельником, а bзнаменником дробу. Також рівнозначно застосовують форму a:b або a/b.

Історично через дроби були побудовані раціональні числа, коли чисельник та знаменник це цілі числа.

Дріб називають спрощеним, якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1. Знаменник дробу не може дорівнювати нулеві.

Дроби застосовують для позначення частин деяких об'єктів. Наприклад:

  • 2/3 (читається дві третини) мешканців міста,
  • 1/5 (одна п'ята) кімнати тощо.
Четверта частина торта відсутня Залишені три четверті зображено.

Правильні та неправильні дроби[ред.ред. код]

Якщо чисельник менший від знаменника, то такий дріб називається правильним, приклад: .

Якщо чисельник більший від знаменника або рівний йому, то такий дріб називається неправильним, приклад: або .

Неправильні дроби заведено подавати у вигляді мішаних чисел: .

Для того, щоб перетворити неправильний дріб на мішане число, потрібно чисельник поділити на знаменник. Наприклад, дробом 7/2 можна записати результат ділення числа 7 на число 2. Тоді цілу і дробову частини мішаного числа можна знайти так[1]:

  1. Виконуємо ділення націло: 7:2 = 3 (залишок 1).
  2. Отримана неповна частка (3) буде цілою частиною мішаного числа,
  3. Залишок (1) буде чисельником дробової частини.

Взаємно обернені дроби[ред.ред. код]

Два дроби називаються звичайно оберненими, якщо чисельник першого дробу дорівнює знаменнику другого і навпаки. Тобто, є взаємно оберненими дробами:
і
Дріб, обернений до цілого числа, має як чисельник одиницю, а як знаменник — це саме число. Тобто взаємно оберненими є:
і
Число 1 обернене саме до себе.

Операції над дробами[ред.ред. код]

У цій статті подається спрощене поясненням операцій над раціональними числами, для детальнішого теоретичного пояснення, дивіться раціональне число.

1. Додавання[ред.ред. код]

Сумою двох дробів із спільним (однаковим) знаменником є дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник дорівнює спільному знаменнику доданків. Таким чином, щоб додати два дроби a:b та c:d, слід спершу звести їх до спільного знаменника, тобто помножити чисельник та знаменник кожного дробу на знаменник іншого[Джерело?], таким чином ми отримаємо два дроби із однаковими знаменниками:

2. Віднімання[ред.ред. код]

За аналогією із додаванням дробів, визначається їх різниця:

Тобто, змінивши знак чисельника другого доданку на протилежний, ми просто додаємо їх.

3. Множення[ред.ред. код]

Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників. Якщо чисельник одного дробу і знаменник того самого або іншого дробу утворюють скоротний дріб, то його можна скоротити.


Якщо помножити дріб на його знаменник, вийде його численик:

Добутком двох взаємно простих дробів є завжди 1:

4. Ділення[ред.ред. код]

Часткою двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника діленого на знаменник дільника, а знаменник — добутку знаменника діленого на чисельник дільника:

Скорочення[ред.ред. код]

Заміна дробу на рівний йому дріб шляхом ділення чисельника і знаменника на одне і те ж натуральне число, яке є їх спільним дільником.

Пропорції[ред.ред. код]

Пропорції використовують дроби для представлення відношень, тобто того факту, що відношення певних складових частин двох предметів до відповідного цілого предмету є однаковим. Подається цей факт як правило у формі:

Похідні пропорції[ред.ред. код]

Із цього факту виводяться формули для похідних пропорцій:

де

Висновок:

Із слідує (помножимо ліву і праву частину рівності на b):

Підставимо отриманий вираз для a в формулу похідної пропорції:

Часткові випадки[ред.ред. код]

,

Очевидно,

Педагогічні інструменти[ред.ред. код]

У школі дріб можна демонструвати за допомогою різних інструментів. Можна використовувати частини кіл, частини стрічок, папір (для згортання або розрізання), частини у формі пирога, папір у клітинку, лічильні палички або геодошку, стрижні Кузенейра[en], дробові плитки[en], шаблонний блок[en] та різне програмне забезпечення.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання в тексті[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Г.Корн, Т.Корн "Справочник по математике для научних работников и инженеров"
  • Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. - М.: Издательский дом "Додэка- XXI",2008. - 544 с.