Підготовча теорема Веєрштрасса

У математиці підготовча теорема Веєрштрасса є важливим твердженням про властивості голоморфних функцій багатьох комплексних змінних в околі деякої точки P. Згідно теореми кожна така функція є добутком функції, що не дорівнює нулю в P, і многочлена по одній фіксованій змінній z, старший коефіцієнт якого є рівним одиниці, а коефіцієнти членів нижчого степеня є голоморфними функціями решти змінних і дорівнюють нулю в точці P. До того ж і функція і многочлен (який називається многочленом Веєрштрасса) визначені однозначно.

Пов’язаним результатом є теорема Веєрштрасса про ділення, яка стверджує, що якщо f і g є голоморфними функціями, а g є многочленом Веєрштрассса степеня N ', то існує однозначно визначена пара h і j для якої f = gh + j, де j є многочленом степеня менше ніж N.

Теореми є фактично еквівалентними. Більшість авторів доводять підготовча теорему Веєрштрасса як наслідок теореми про ділення, хоч також можна довести теорему про ділення з підготовчої теореми підготовки.

Існує також кілька варіантів теореми, які розширюють ідею факторизації в якомусь кільці R як u·w, де u — оборотний елемент, а w — якийсь специфічний многочлен Веєрштрасса.

Твердження теорем

Для голоморфної функції f(z) однієї змінної в околі точки 0 можна записати z^kh(z), де h(0) не дорівнює 0, а k є кратністю f у точці 0. Підготовча теорема узагальнює цей результат на випадок багатьох комплексних змінних.

Нехай z позначає одну із комплексних змінних, а загалом усі змінні позначаються як (z, z₂, ..., z_n).

Многочленом Веєрштрасса W(z) щодо змінної z у точці 0 називається вираз

z^k + g_k−1z^{k− 1} + ... + g₀

де g_i(z₂, ..., z_n ) є голоморфними і g_i(0, ..., 0) = 0.

Голоморфна функція :f(z, z₂, ..., z_n) називається загальною щодо змінної z порядку k у точці (0, ..., 0), якщо

f(z, ...,0) = a_k z^k + a_k+1 z^k+1 + ...

Підготовча теорема Веєрштрасса стверджує, що для голоморфної функції f, яка є загальною щодо змінної z порядку k у точці (0, ..., 0)

локально поблизу (0, ..., 0) можна записати

f(z, z₂, ..., z_n) = W(z)h(z, z₂, ..., z_n)

де h є голоморфною функцією для якої h(0, ..., 0) не є рівною 0, і W є многочленом Веєрштрасса.

Безпосереднім наслідком теореми є факт, що множина розв'язків рівняння f = 0, поблизу точки (0, ..., 0), можна знайти шляхом фіксації будь-яких малих значень z₂ , ..., z_n і розв’язування поліноміального рівняння W(z)=0. Відповідні значення z утворюють неперервні гілки, кількість яких дорівнює степеню W щодо змінної z. Зокрема f не може мати ізольованого нуля.

Теорема Веєрштрасса про ділення стверджує, що якщо g і f є голоморфними функціями від n змінних і f є загальною щодо змінної z порядку k у точці (0, ..., 0), то в околі (0, ..., 0) можна однозначно записати:

g = fh + j,

де h є голоморфною в околі точки (0, ..., 0), а j є многочленом щодо змінної z степеня меншого k коефіцієнти якого є голоморфними функціями змінних (z₂, ..., z_n). Іншими словами j є голоморфною функцією в околі точки (0, ..., 0) розклад якої у ряд Тейлора містить степені z не вищі, ніж k - 1.

Теореми використовуються для дослідження множини розв'язків f (z, z₂, ..., z_n) = 0 в околі деякої точки P, яка теж є розв'язком рівняння: f (P) = 0. Для можливості застосування теорем Веєрштрасса потрібно спершу перенести координатну систему, так щоб у точці P був початок координат. Тоді порядок функції f у цій точці (найменший сумарний степінь із ненульовим коефіцієнтом у розкладі функції в ряд Тейлора) є більшим нуля. Якщо функція f має порядок k у точці (0, ..., 0) то існує перетворення координат z = y, z_i = y_{i +} c_iy_n = після якого функція у координатах (y, y₂, ..., y_n) стає загальною порядку k у точці (0, ..., 0) щодо змінної y.

Відповідно попри додаткові вимоги, які накладаються на функції у теоремах їх, після нескладних перетворень координат, можна застосовувати для вивчення нулів голоморфної функції в околі довільної такої точки.

Доведення

Доведення підготовчої теореми із теореми про ділення

Нехай $f(z,z_{2},...,z_{n})$ є голоморфною функцією, що є загальною щодо змінної $z$ порядку $k$ і $g:=z^{k}.$ Тоді із теореми про ділення: ${\textstyle z^{k}=qf+j}$, де $q$ є голоморфною в деякому околі і також можна записати:

$j(z,z_{2},\ldots ,z_{n})=\sum _{i=1}^{k}b_{i}(z_{2},\ldots ,z_{n})z^{k-i}$, де $b_{i}$ є голоморфними від n - 1 змінної у деякому околі.

Якщо $z_{2}=0,\ldots ,z_{n}=0,$ то звідси:

$h(z,0,\ldots ,0)(cz^{k}+\ldots )=z^{k}-\sum _{i=1}^{k}b_{i}(0,\ldots ,0)z^{k-i}$, де $c\neq 0.$

Розписуючи $h(z,0,\ldots ,0)$ у ряд Тейлора за степенями $z$ і прирівнюючи значення при різних степенях цієї змінної, одержується, що $h(0,\ldots ,0)={\frac {1}{c}}\neq 0$ і $b_{i}(0,\ldots ,0)=0.$

Отож для $q$ у деякому околі точки (0, ..., 0) існує обернена функція $h(z,z_{2},\ldots ,z_{n})=q^{-1}(z,z_{2},\ldots ,z_{n})$, а ${\textstyle W(z)=z^{k}-\sum _{i=1}^{k}b_{i}(z_{2},\ldots ,z_{n})z^{k-i}}$ є многочленом Ваєрштраса. Тоді $f=hW$ і є розкладом функції у добуток, що завершує доведення існування у підготовчій теоремі.

Нехай $f=h_{1}W_{1}=h_{2}W_{2}$ є двома розкладами із підготовчої теореми у деякому околі точки (0, ..., 0). Тоді $h_{1},\ h_{2}$ є оборотними у цьому околі, а $W_{1}=z^{k}-j_{1},\ W_{2}=z^{k}-j_{2},$ де $j_{1},\ j_{2}$ є многочленами щодо змінної $z$ степеня меншого $k$ коефіцієнти якого є голоморфними функціями змінних $(z_{2},\ldots ,z_{n})$. Тоді $z^{k}=h_{1}^{-1}f+j_{1}=h_{2}^{-1}f+j_{2}$ і з твердження про єдиність у теоремі про ділення випливає, що $h_{1}^{-1}=h_{2}^{-1}$ і $j_{1}=j_{2}.$ Звідси також $h_{1}=h_{2}$ і $W_{1}=W_{2},$ що завершує доведення єдиності розкладу у твердженні підготовчої теореми.

Доведення теореми про ділення

Існування

Функцію $f$, яка є голоморфною в деякому околі точки (0, ..., 0) у околі цієї точки можна записати як ряд Тейлора у виді:

$f(z,z_{2},\ldots ,z_{n})=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}(z_{2},\ldots ,z_{n})z^{i}$

де функції $f_{i}$ є голоморфними в деякому (одному для всіх) околі точки (0, ..., 0) (у просторі $\mathbb {C} ^{n-1}$).

Позначимо ${\textstyle {\hat {f}}:=\sum _{i=0}^{k-1}f_{i}z^{i},\ {\tilde {f}}:=\sum _{i=k}^{\infty }f_{i}z^{i-k}.}$ Тоді $f={\hat {f}}+z^{k}{\tilde {f}}$ і ${\tilde {f}}$ є оборотною у деякому околі точки (0, ..., 0).

Нехай $r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ — мультирадіус такий, що функції $f,\ g$ є голоморфними у околі, що містить замкнутий полікруг $B_{r}:=\{(z,z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:|z|\leqslant r_{1},z_{i}\leqslant r_{i}\}$, а функція ${\tilde {f}}$ є голоморфною і оборотною у цьому полікрузі. Позначимо також $r'=(r_{2},\ldots ,r_{n})$ — мультирадіус для $n-1$ змінної.

На просторі функцій голоморфних у деякому околі, що містить $B_{r}$ можна ввести норму $\|\cdot \|_{r}$: для функції $F(Z)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }Z^{\alpha }$ за означенням

$\|F\|_{r}=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}|a_{\alpha }|r^{\alpha }.$

Тут використані позначення $Z=(z,z_{2},\ldots ,z_{n}),$ $\alpha =({\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}})$ — мультиіндекс, $Z^{\alpha }:=z^{\alpha _{1}}z_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot z_{n}^{\alpha _{n}}$ і $r^{\alpha }=r_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot r_{n}^{\alpha _{n}}.$

Тоді для таких означень і норми: $\|f\|_{r}=\|{\hat {f}}\|_{r}+r_{1}^{k}\|{\tilde {f}}\|_{r}$ і звідси $\|{\tilde {f}}\|_{r}\leqslant r_{1}^{-k}\|f\|_{r}.$

Функція $q:=x^{k}-f{\tilde {f}}^{-1}=-{\hat {f}}{\tilde {f}}^{-1}$ і відповідні функції ${\hat {q}},\ {\tilde {q}}$ (означення яких є аналогічними як для функції $f$ вище) є голоморфними в околі, що містить $B_{r}$. Окрім того для будь-якого $0<\varepsilon <1$ можна обрати $r$ так щоб $\|q\|_{r}\leqslant \varepsilon r_{1}^{k}.$

Справді записавши:

$q={\hat {q}}+z^{k}{\tilde {q}}=\sum _{i=0}^{k-1}q_{i}z^{i}+z^{k}{\tilde {q}}$

із означення $q$ випливає, що $q_{i}(0,\ldots ,0)={\tilde {q}}(0,\ldots ,0)=0.$ Звідси $r_{1}$ і потім $r'$ можна обрати настільки малими щоб водночас $\|{\tilde {q}}\|_{r}\leqslant \varepsilon /2$ і звідси $\|z^{k}{\tilde {q}}\|_{r}\leqslant r_{1}^{k}\varepsilon /2$, а також $\|q_{i}\|_{r^{'}}\leqslant r_{1}^{k-i}{\frac {\varepsilon }{2}}$

Звідси

$\|q\|_{r}=\left\|\sum _{i=0}^{k-1}q_{i}z^{i}+z^{k}{\tilde {q}}\right\|_{r}\leqslant \sum _{i=0}^{k-1}\|q_{i}\|_{r'}r_{1}^{i}+\|z^{k}{\tilde {q}}\|_{r}=\varepsilon r_{1}^{k},$ що завершує доведення нерівності.

Якщо позначити $q(\varphi )=q\cdot {\tilde {\varphi }},$ то $\|q(\varphi )\|_{r}\leqslant \|q\|_{r}\cdot \|{\tilde {\varphi }}\|_{r}\leqslant \varepsilon \|\varphi \|_{r}.$

Нехай $\varphi _{0}:=g,\ \varphi _{i+1}:=q\cdot {\tilde {\varphi }}_{i}$ і $\varphi :=\sum _{i=0}^{\infty }\varphi _{i}.$ Тоді:

$\|\varphi \|_{r}=\left\|\sum _{i=0}^{\infty }\varphi _{i}\right\|_{r}\leqslant \sum _{i=0}^{\infty }\|\varphi _{i}\|_{r}\leqslant \|\varphi _{0}\|_{r}\varepsilon ^{i}=\|g\|_{r}{\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon }}<\infty .$

Відповідно $\varphi$ є голоморфною у відкритому полікрузі $B_{r}$, як і функції $h:={\tilde {\varphi }}{\tilde {f}}^{-1}$ і $j:={\hat {\varphi }}$.

Для цих функцій виконуються рівності ${\textstyle {\hat {\varphi }}=\sum {\hat {\varphi }}_{i}}$ і ${\textstyle {\tilde {\varphi }}=\sum {\tilde {\varphi }}_{i}}$. Також $\varphi _{i}-\varphi _{i+1}=f{\tilde {f}}^{-1}{\tilde {\varphi }}_{i}+{\hat {\varphi }}_{i}$ і з цих рівностей остаточно

$g=\sum (\varphi _{i}-\varphi _{i+1})=f{\tilde {f}}^{-1}\sum {\tilde {\varphi }}_{i}+\sum {\hat {\varphi }}_{i}=hf+j.$

Остання рівність і доводить твердження існування у теоремі.

Єдиність

Нехай $g=h_{1}f+j_{1}=h_{2}f+j_{2}$ є двома розкладами із твердження теореми. Оскільки із доведеного існування у теоремі про ділення без використання єдиності випливає існування у підготовчій теоремі, то також можна записати $g=q_{1}W+j_{1}=q_{2}W+j_{2}$, де $q_{1}=ph_{1},\ q_{2}=ph_{2}$ і $p,\ W$ — деякі функція і многочлен Веєрштрасса із твердження підготовчої теореми (їх існування уже доведено, єдиність у даному випадку не потрібна).

Тоді $(q_{1}-q_{2})W=(j_{2}-j_{1}).$ Усі функції можна вважати голоморфними у деякому спільному околі точки (0, ..., 0) наприклад у деякому відкритому полікрузі. Якщо ${\textstyle W(z)=z^{k}+\sum _{i=0}^{k-1}b_{i}(z_{2},\ldots ,z_{n})z^{i}}$ то з того, що ${\textstyle b_{i}(0,\ldots ,0)=0}$ випливає, що у малому полікрузі функції ${\textstyle b_{i}(z_{2},\ldots ,z_{n})}$ теж є малими за модулем. Тоді також і всі корені многочлена Веєрштрасса для будь-якої точки ${\textstyle (z_{2},\ldots ,z_{n})}$ належать кругу деякого малого радіуса (в іншому разі всі ${\textstyle b_{i}(z_{2},\ldots ,z_{n})z^{i}}$ за модулем будуть значно менші за $z^{k}$). Тобто для деякого малого $r_{1}>0$ можна обрати $r_{2},\ldots ,r_{n}$ такі, що у відкритому полікрузі $B_{r}$ усі функції, що розглядаються є голоморфними і для кожної ${\textstyle (z_{2},\ldots ,z_{n})}$ із полікруга відповідний многочлен має $k$ коренів із урахуванням кратності. Відповідно для кожної такої точки ${\textstyle (z_{2},\ldots ,z_{n})}$ функція $(q_{1}-q_{2})W$ теж має щонайменше $k$ коренів. Натомість для кожної такої точки $j_{2}-j_{1}$ є многочленом степеня меншого, ніж $k$.

Відповідно $j_{2}-j_{1}$ має бути нульовим многочленом у кожній такій точці, тобто $j_{2}-j_{1}=0$ у полікрузі $B_{r}$. Як наслідок у цьому полікрузі $(q_{1}-q_{2})W=0$ і оскільки $W\neq 0$ з теореми про рівність випливає, що $q_{1}=q_{2}$. Із цього також $h_{1}=p^{-1}q_{1}=p^{-1}q_{2}=h_{2},$ що завершує доведення єдиності.

Література

• Gerd Fischer (2009}). Plane Algebraic Curves. Student mathematical library. Т. 15. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2122-9.
• Scheidemann, Volker (2005), Introduction to complex analysis in several variables, Birkhauser, ISBN 3-7643-7490-X