Регулярне просте число

У теорії чисел регулярне просте число — будь-яке просте число $p$, для якого число класів ідеалів кругового поля не ділиться на $p$. Решта простих непарних чисел називають іррегулярними.

Декілька перших регулярних простих чисел:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …

Властивості

Регулярні числа це точно куммерові прості числа, проте доведення цього досить складне. Для перевірки числа на куммеровість можна використати так званий критерій Куммера: $p$ куммерове тоді й лише тоді, коли чисельники всіх чисел Бернуллі $B_{2},B_{4},\dots ,B_{p-3}$ не діляться на $p$.

Припускають, що регулярних простих чисел дуже багато, проте це твердження не доведено.

Регулярні числа ввів Куммер, коли намагався довести теорему Ферма. Одна з отриманих теорем, з урахуванням збігу регулярності та кумеровості, стверджує:

Якщо просте $p$ регулярне, то для нього рівняння $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ не має розв'язків у натуральних числах.

Іррегулярне просте число

Просте число, яке не є регулярним, називають іррегулярним простим числом. Декілька перших іррегулярних простих чисел:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, …

Єнсен довів, що існує безліч іррегулярних простих чисел.

Іррегулярні пари

Якщо $p$ — іррегулярне просте число, то $p$ ділить без остачі чисельник числа Бернуллі $B_{2k}$ для деякого парного індексу $2k$ в інтервалі $0<2k<p-1$. При цьому пару чисел $(p,2k)$ називають іррегулярною парою. Перші кілька іррегулярних пар:

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), …

Для заданого простого $p$ число таких пар називають індексом нерегулярності числа $p$. Таким чином, просте число регулярне тоді й лише тоді, коли індекс іррегулярності дорівнює нулю. Аналогічно, просте число іррегулярне тоді й лише тоді, коли його індекс іррегулярності додатний.

Виявлено, що при $p<30000$ пара $(p,p-3)$ є іррегулярною лише для простого числа Волстенголма $p=16843$.

Література

• Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М. : Наука, 1982.
• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М. : Наука, 1985.
• Ernst Kummer. Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x^λ + y^λ = z^λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen // J. Reine Angew. Math. — 1850. — Вип. 40 (13 січня). — С. 131—138.