Просте число Волстенголма

У теорії чисел простим числом Волстенголма називають будь-яке просте число, що задовольняє посиленому порівнянню з теореми Волстенголма. При цьому початковому порівнянню з теореми Волстенголма задовольняють усі прості числа, крім 2 та 3. Прості числа Волстенголма названо на честь математика Джозефа Волстенголма, який першим довів теорему в XIX столітті.

Інтерес до цих чисел виник через їхній зв'язок із великою теоремою Ферма.

Відомо лише два простих числа Волстенголма — 16843 і 2124679 (послідовність A088164 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Інших простих чисел Волстенголма, менших від 10⁹, немає .

Визначення

Нерозв'язана проблема математики: Чи існують прості числа Волстенголма, крім 16843 та 2124679? (більше нерозв'язаних проблем математики)

Просте число Волстенголма можна визначити кількома еквівалентними способами.

Через біноміальні коефіцієнти

Просте число Волстенголма — це просте число, що задовольняє порівняння

${2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{4}}},$

де вираз у лівій частині означає біноміальний коефіцієнт. Порівняйте з теоремою Волстенголма, яка стверджує, що для будь-якого простого $p>3$ виконується таке порівняння:

${2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{3}}}.$

Через числа Бернуллі

Просте число Волстенголма це просте число p, що ділить (без остачі) чисельник числа Бернуллі $B_{p-3}$. Таким чином, прості числа Волстенголма є підмножиною іррегулярних простих чисел .

Через іррегулярні пари

Просте число Волстенголма $p$ — це просте число, таке, що $(p,p-3)$ є іррегулярною парою.

Через гармонічні числа

Просте число Волстенголма $p$ — це просте число, таке, що

$H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,$

тобто, чисельник гармонічного числа $H_{p-1}$ ділиться на $p^{3}$.

Пошук та поточний стан

Пошук простих чисел Волстенголма розпочався в 1960-х роках і триває досі. Останній результат опубліковано 2007 року. Перше просте число Волстенголма 16843 знайдено 1964 року, хоча результат і не було опубліковано в явному вигляді. Знахідку 1964 року потім незалежно підтверджено в 1970-х роках. Це число залишалося єдиним відомим прикладом таких чисел майже 20 років, поки 1993 року не було оголошено про виявлення другого простого числа Волстенголма 2124679. На той час аж до 1,2 × 10⁷ не було знайдено жодного числа Волстенголма, крім згаданих двох. 1995 року Макінтош (McIntosh) підняв межу до 2 × 10⁸, а Тревісан (Trevisan) та Вебер (Weber) змогли досягти 2,5 × 10⁸. Останній результат зафіксовано 2007 року — до 1 × 10⁹ так і не знайдено простих чисел Волстенголма.

Очікувана кількість

Існує гіпотеза, що простих чисел Волстенголма нескінченно багато. Припускають також, що кількість простих чисел Волстенголма, які не перевищують $x$, має бути порядку $\ln \ln x$, де $\ln$ позначає натуральний логарифм. Для будь-якого простого числа $p\geq 5$ часткою Волстенголма називають

$W_{p}{=}{\frac {{2p \choose p}-2}{p^{3}}}.$

Ясно, що $p$ є простим числом Волстенголма тоді й лише тоді, коли $W_{p}\equiv 0{\pmod {p}}$. З емпіричних спостережень можна припустити, що остача $W_{p}$ за модулем $p$ рівномірно розподілена на множині ${0,1,\dots ,p-1}$. З цих причин ймовірність отримання певної остачі (наприклад, 0) має бути близько $1/p$.

Див. також

• Просте число Вілсона
• Просте число Волла — Суня — Суня
• Просте число Віферіха

Література

• Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000, Notices of the American Mathematical Society, 11: 97
• Johnson, W. (1975), Irregular Primes and Cyclotomic Invariants (PDF), Mathematics of Computation, 29 (129): 113—120 [Архівовано 2010-12-20 у WebCite]
• Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million (PDF), Mathematics of Computation, 61 (203): 151—153 [Архівовано 2010-11-12 у WebCite]
• McIntosh, R. J. (1995), On the converse of Wolstenholme's Theorem (PDF), Acta Arithmetica, 71: 381—389 арх.
• Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem (PDF), Matemática Contemporânea, 21: 275—286 [Архівовано 2010-12-10 у WebCite]
• Ribenboim, P. (2004), Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime, The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-20169-6 арх.
• Clarke, F.; Jones, C. (2004), A Congruence for Factorials (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 36 (4): 553—558, doi:10.1112/S0024609304003194 [Архівовано 2011-01-02 у WebCite]
• McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes (PDF), Mathematics of Computation, 76: 2087—2094, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 арх.
• Zhao, J. (2007), Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p⁵ variations of Lucas' theorem (PDF), Journal of Number Theory, 123: 18—26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005 [Архівовано 2010-11-12 у WebCite]
• Zhao, J. (2008), Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums (PDF), International Journal of Number Theory, 4 (1): 73—106 арх.
• Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II, Communications in Number Theory and Physics, 3, arXiv:0907.2578
• Babbage, C. (1819), Demonstration of a theorem relating to prime numbers, The Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46—49
• Wolstenholme, J. (1862), On Certain Properties of Prime Numbers, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 5: 35—39

Посилання

• Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime — із довідника простих чисел
• McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 — електронний лист до Пола Ціммермана (Paul Zimmermann)
• Bruck, R. Wolstenholme's Theorem, Stirling Numbers, і Binomial Coefficients
• Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums — цікаве спостереження, пов'язане з простими числами Волстенголма.