Розклад Річчі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У псевдорімановій геометрії розклад Річчі — це розклад тензора кривини Рімана на незвідні щодо ортогональної групи тензорні частини. Цей розклад відіграє важливу роль у римановій і псевдорімановій геометрії.

Складові частини тензора Рімана[ред.ред. код]

Розклад виглядає так:

Його елементами є:

  1. скалярна частина ,
  2. напівбезслідова частина ,
  3. повністю безслідова частина, має спеціальну назву тензор Вейля, .

Кожен елемент має ті ж симетрії, що й тензор кривизни, але також володіє специфічними алгебраїчними властивостями.

Скалярна частина

залежить тільки від скалярної кривини ( — тензор Річчі), і метричного тензора , який комбінується таким чином, щоб дати тензор з симетрією тензора кривизни:

Напівбезслідова частина

виходить аналогічним чином з безслідової частини тензора Річчі

і метричного тензора .

Тензор Вейля повністю безслідовий у тому сенсі, що його згортка за будь-якою парою індексів дає нуль. Герман Вейль показав, що цей тензор вимірює відхилення псевдоріманового многовиду від конформно-плоского: якщо він звертається в нуль, то многовид локально конформно-еквівалентний плоскому многовиду.

Цей розклад — чисто алгебраїчний і не включає в себе ніяких диференціювань.

У разі Лоренцевого 4-мірного многовиду (наприклад, простору-часу) тензор Ейнштейна має слід, рівний скалярній кривині з протилежним знаком, так що безслідові частини тензора Ейнштейна та тензора Річчі збігаються

Зауваження щодо термінології: позначення  — стандартні,  — широко поширені, але не загальноприйняті, а тензори і не мають усталених позначень.