Рівняння Гінзбурга — Ландау

Рівняння Гінзбурга — Ландау рівняння, які описують стан надпровідника в зовнішньому магнітному полі.

В теорії Гінзбурга — Ландау надпровідник описується параметром порядку ψ, який вважається малим, а тому розглядається область в околиці фазового переходу між надпровідним і звичайним станом (у звичайному стані параметр порядку дорівнює нулю).

Рівняння мають такий вигляд:

${\frac {1}{4m}}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {2e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi +a\psi +b|\psi |^{2}\psi =0$,

де $\hbar$ — приведена стала Планка, m — маса електрона, c — швидкість світла, $\mathbf {A}$ — векторний потенціал, a та b — певні сталі, які характеризують надпровідник.

Рівняння нагадує рівняння Шредінгера, але для частинки з масою й зарядом вдвічі більшими за масу й заряд електрона (куперівська пара).

Крім наведеного рівняння величина магнітного поля визначається із звичного рівняння електродинаміки

${\text{rot}}\,\mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}$,

де густина струму $\mathbf {j}$ визначається виразом

$\mathbf {j} =-i{\frac {e\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})-{\frac {2e^{2}}{mc}}|\psi |^{2}\mathbf {A}$.

Вільна енергія

Рівняння Гінзбурга — Ландау виводяться із принципу мінімальності вільної енергії термодинамічної системи у рівноважному стані. Виражена через параметр порядку, вільна енергія має такий вигляд:

$F=F_{n0}+\int \left\{{\frac {B^{2}}{8\pi }}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|\left(\nabla -{\frac {2ie}{\hbar c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+a|\psi |^{2}+{\frac {b}{2}}|\psi |^{4}\right\}dV$

Теорія Гінзбурга — Ландау дозволяє розраховувати критичні магнітні поля, проникнення магнітного поля в надпровідник тощо.

Граничні умови

На межі між надпровідником і речовиною в нормальному стані параметр порядку повинен задовільняти граничним умовам

$\mathbf {n} \left(-i\hbar \nabla \psi -{\frac {2e}{c}}\mathbf {A} \psi \right)=0$,

де $\mathbf {n}$ — орт нормалі до поверхні розділу.

Історія

Сільвія Серваті у 2004 році отримала премію EMS за внесок у теорію Гінзбурга – Ландау.

Література

• Локтєв В. М. Лекції з теорії надпровідності. — К. : ІТФ НАН України, 2011. — 276 с.
• Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. — М. : МЦНМО, 2000. — 402 с.